C++算法学习2：二分算法精讲

一、实数二分法回顾

1.1问题背景

在1~2的范围内找到一个x，使得式子5x2 -9x +1 的绝对值<10-9（即无限接近0） 要求：x精确到小数点后9位。

换句话说也就是求：就是求方程  5x2- 9x + 1 =0 在1~2内的近似解

1.2怎么找到这个x呢？

我们需要一个一个试，关键是：试哪些数？

先试边界1和2

将1、2分别带入下列方程

令y = 5x2 - 9x + 1 ,目标：|y| <10-9

得到y=-3、y=3

下一个试谁呢？

将x=1.5带入y = 5x2 - 9x + 1

1.3接下来我们往左边试还是往右边试？

应该往右试：

我们接下来要做的就是反复的左右试题x的值，直到y的绝对值小于10的-9次方为止。

1.4 算法实现

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;

int main() {
    double left = 1, right = 2;
    double x = (left + right) / 2;
    double y = 5 * x * x - 9 * x + 1;
    
    while (abs(y) > 1e-9) {
        if (y > 0) right = x;  // 解在左侧
        else left = x;         // 解在右侧
        x = (left + right) / 2;
        y = 5 * x * x - 9 * x + 1;
    }
    
    cout << fixed << setprecision(9) << x;
    return 0;
}

核心特点

• 终止条件：解的精度达到 1e-9

• 区间更新：直接赋值 left = x 或 right = x

• 中间值计算：无需考虑整数溢出问题

---

二、整数二分法解析

猜数字游戏

输入一个范围在 [1, 1000] 内的数字，让计算机去猜，看使用二分法，计算机需要几次就能猜出来：

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    
        int sum=0;//记录一共猜了几次数 
        int b=0,e=1000,x=173;//b，e左边界和右边界确定了数据范围，x=173是我们猜的数字 
         //使用二分法开始猜数 
    while(b<=e){//左边界小于等于右边界是整数二分的条件 
        int mid=(b+e)/2;//获取中间值 
        if(x==mid){
            cout<<"猜对了"<<endl;
            break;
        }
        else if(mid>x){
            cout<<"大了"<<mid<<endl; 
            e=mid-1;//更新右边界值 
            sum++;
        }
        else{
            cout<<"小了"<<mid<<endl; 
            b=mid+1;//更新左边界值 
            sum++;
        }
    }
    cout<<"一共猜了几次"<<sum;        

    return 0;
} 

与实数二分的核心差异

特性	实数二分	整数二分
终止条件	精度达到阈值	left > right
中间值计算	直接取平均	需要处理整数除法特性
区间更新	直接赋值	需要±1操作
内存消耗	浮点运算	整型运算

---

三、整数二分经典应用

练习：在数组中查找数字3的位置

问题要求：

1. 输入无序数组

2. 输出首次出现3的位置（从1开始计数）

3. 不存在时输出-1

实现方案

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct Item {
    int id;
    int value;
} a[100];

bool cmp(Item a, Item b) {
    return a.value < b.value;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        a[i].id = i;
        cin >> a[i].value;
    }
    
    // 排序保持原始位置
    sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
    
    // 二分查找
    int left = 1, right = n, res = -1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (a[mid].value >= 3) {
            if (a[mid].value == 3) res = a[mid].id;
            right = mid - 1;
        } else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    
    // 验证是否为首次出现
    if (res != -1) {
        for (int i = right + 1; i <= left; ++i) {
            if (a[i].value == 3) {
                res = min(res, a[i].id);
            }
        }
    }
    
    cout << (res != -1 ? res : -1);
    return 0;
}

关键点解析

1. 结构体排序：保存原始位置信息

2. 查找策略：

   • 查找第一个≥3的元素

   • 反向扫描确认首次出现位置

3. 边界处理：处理多个相同值的情况

---

四、c++标准库二分函数解析

1. lower_bound 函数

功能描述

在有序区间中查找第一个大于或等于目标值的元素位置

使用模板

// 函数原型
ForwardIterator lower_bound (ForwardIterator first, ForwardIterator last, const T& val);

// 示例代码
int a[] = {4,6,1,7,9,6,5,12,15,8}; 
sort(a, a+10); // {1,4,5,6,6,7,8,9,12,15}

int target = 11;
auto it = lower_bound(a, a+10, target); 
int pos = it - a;  // 计算索引位置

if(pos < 10) {
    cout << "找到的数是：" << *it 
         << " 位置是：" << pos;  // 输出：12 位置8
} else {
    cout << "未找到";
}

特性说明

• 时间复杂度：O(log n)

• 前提条件：区间必须已排序

• 返回值：若找到返回对应迭代器，否则返回last

2. upper_bound 函数

功能描述

在有序区间中查找第一个严格大于目标值的元素位置

使用对比

int a[] = {1,2,2,3,3,3,4,5};
int n = sizeof(a)/sizeof(int);

int val = 3;
auto lb = lower_bound(a, a+n, val); // 指向第一个3（索引3）
auto ub = upper_bound(a, a+n, val); // 指向第一个4（索引6）

cout << "元素3的个数：" << ub - lb;  // 输出3

3. 函数对比表

特性	lower_bound	upper_bound
查找条件	≥ target	> target
返回值位置	第一个可插入位置（保序）	最后可插入位置（保序）
常见用途	查找元素是否存在	统计元素出现次数
未找到返回值	指向第一个>target的元素	指向最后一个元素的下一个位置

---

五、综合应用实例

案例：求解三次方程近似根

double cube_root(double L, double R) {
    const double eps = 1e-12;
    while (R - L > eps) {
        double mid = (L + R) / 2;
        if (mid*mid*mid > 27) {  // 求³√27的近似值
            R = mid;
        } else {
            L = mid;
        }
    }
    return L;
}

// 输出：3.000000000000

---

五、二分算法适用场景

1. 有序数据集：单调递增/递减序列

2. 离散数值查找：整数集合中的定位

3. 分治问题：最大值最小化/最小值最大化问题

4. 高效查询：时间复杂度O(log n)

---

六、常见错误及规避

1. 死循环问题：

   • 确保区间更新有进展

   • 使用标准模板：left = mid + 1 / right = mid - 1

2. 整数溢出：

   int mid = left + (right - left) / 2;  // 正确写法

3. 边界处理：

   • 初始化时明确开闭区间

   • 终止条件验证 left <= right

---

通过系统掌握实数与整数二分法的实现差异，结合经典应用场景的实战训练，可显著提升算法设计能力与代码实现水平。