欧拉函数编程

最新推荐文章于 2025-12-20 17:21:30 发布

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#算法

本文介绍了欧拉函数的概念，重点阐述了如何通过C++编程找到小于给定数n的所有质因数，以计算欧拉函数值。代码中涉及循环、质数判断和除法操作以确保正确性。

欧拉函数 $\phi (n)$ 定义为小于n的所有与n互素的数的个数。

公式是 $\phi (n)=n*\prod_{1}^{s}(1-\frac{1}{x{i}})$

其中xi为n的质因数，即xi既是质数也是n的因数，s指n的所有质因数的个数

或者写成这样 $n=p^{n}*q^{m}...$ （p,q等都是质因数，n,m是指数）

则 $\phi (n)=n(1-\frac{1}{p})*(1-\frac{1}{q})...$

所以欧拉函数只和质因数有关

相关公式推导查看离散数学课本

现在要编写程序，关键就是求出质因数

怎么找到它呢，可以从2开始循环，如果n%i==0，那i肯定是最小的那个质因数，但是之后的i就不一定了，所以要对n做处理

#include<iostream>
using namespace std;

int main( )
{
    int n;
    cin>>n;
    int ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){//i此时是一个质因数
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;//更新n
        }
    }
    if(n>1) ans=ans/n*(n-1);//最后一个质因子
    cout<<ans;
    return 0;
}

i一定是质因数吗？一定，如果i不是质数，那i的某个因数之前肯定已经循环到了，所以满足n%i==0的i肯定是质数

为什么有个while循环？就是这一步骤才能确保i是质因数，这个while循环相当与除了 $q^{m}$ ，这样之后不会被q的倍数影响到了；