LintCode ：不同的二叉查找树

最新推荐文章于 2024-04-28 16:47:47 发布

orekinana

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分类专栏： LintCode 文章标签：组合数学卡特兰树二叉查找树

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本文介绍了一种利用卡特兰数计算不同形态二叉查找树数量的方法，并给出了具体的实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

LintCode ：不同的二叉查找树

题目

给出 n，问由 1…n 为节点组成的不同的二叉查找树有多少种？

样例

给出n = 3，有5种不同形态的二叉查找树：

1           3    3       2      1
 \         /    /       / \      \
  3      2     1       1   3      2
 /      /       \                  \
2     1          2                  3

思路

这里我们可以采用卡特兰树的方法，关于卡特兰树大家可以去维基百科卡特兰树看看。这里面刚好有提到用卡特兰树解决二叉查找树的方法，那为什么可以解决好像没说，那这里我就来简单的说一下。
卡特兰树的递推定义是这样的 $C_{n + 1} = C_0*C_n + C_1*C_{n - 1} +...+C_{n - 1}*C_1 + C_n*C_0$ ，这样是不是看起来很像n+1个节点的二叉树，左边有零个节点右边有n个节点的情况加上左边一个节点右边n-1各节点的情况加上。。。以此类推就可以计算出n+1个节点的二叉树有多少种情况了。然后这里给出通项公式 $C_n = C(2n, n)/(n+1)$ ，这里 $C_n$ 就是我们要求的个数。

代码

int numTrees(int n) {
        unsigned long long up = 1;
        for(int i = 0; i < n; i++)
            if(i % 2 == 1)
                up *= 2 * n - i;
            else
                up *= 2;
        unsigned long long down = 1;
        for(int i = 0; i < n / 2; i++)
            down *= n / 2 - i;
        return up / down / (n + 1);
    }

（哦，对了，这里为了处理阶乘溢出的问题在求阶乘的时候做了一些处理。因为分母是n!*n!分子是2n!，所以第一步约分之后分子剩下的是2n*(2n-1)*…*(n+2)*(n+1)，分母则是n!，然后因为分子分母长度一样，数值上2n又是n的两倍，所以分子的偶数部分是可以跟分母消掉后只剩下2的，分子部分消掉后其实就只剩下n / 2!这一部分了，这样处理之后计算阶乘就不会溢出了。）