51Nod 1284 2 3 5 7的倍数（容斥原理）

最新推荐文章于 2022-09-23 00:17:20 发布

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本文详细解析了12842357的倍数问题，通过容斥原理和数位DP算法两种方法，探讨了如何高效地计算1至N中不是2357倍数的数的数量。提供了完整的代码实现，适合于算法学习和竞赛准备。

1284 2 3 5 7的倍数

给出一个数N，求1至N中，有多少个数不是2 3 5 7的倍数。例如N = 10，只有1不是2 3 5 7的倍数。

收起

输入

输入1个数N(1 <= N <= 10^18)。

输出

输出不是2 3 5 7的倍数的数共有多少。

输入样例

输出样例

思路：直接容斥就行了

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
	long long n,ans =0;
	cin>>n;
	ans = n - (n/2+n/3+n/5+n/7) + (n/(2*3)+n/(2*5)+n/(2*7)+n/(3*5)+n/(3*7)+n/(5*7)) - 
		(n/(2*3*5)+n/(2*3*7)+n/(3*5*7)+n/(2*5*7)) + n/(2*3*5*7);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

有人用dp做的

问题分析：

这是一个数位DP问题，用记忆化搜索实现。

参考链接：HDU2089 不要62【数位DP＋记忆化搜索】

/* 51Nod-1284 2 3 5 7的倍数 */
 
#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
const int M2 = 2;
const int M3 = 3;
const int M5 = 5;
const int M7 = 7;
const int N = 20;  // 位数，long long类型不超过20位
int digits[N + 1];
LL dp[N][M2][M3][M5][M7];  // dp[i][m2][m3][m5][m7]-共i位，其中m2-m7分别为2 3 5 7的余数
 
/*
 * 参数：
 * pos - 数位位置，即当前处理数的第几位，从高位开始
 * m2-m7 - 2 3 5 7的余数
 * limit - 是否为数位上界（最大数字）
 */
LL dfs(int pos, int r2, int r3, int r5, int r7, bool limit)
{
    if(pos == -1) {   // 递归边界，已经枚举结束，则返回1的数量
        if(r2 == 0 || r3 == 0 || r5 == 0 || r7 == 0)
            return 0;
        else
            return 1;
    }
    if(!limit && dp[pos][r2][r3][r5][r7] != -1)  // 已经搜索过的不再搜索，直接使用之前的计算结果
        return dp[pos][r2][r3][r5][r7];
 
    // 计数
    LL ans = 0;
    int maxd = limit ? digits[pos] : 9;  // 枚举数字，如果数字不同则枚举0-9
    for(int i = 0; i <= maxd; i++) {
        ans += dfs(pos - 1, (r2 * 10 + i) % M2, (r3 * 10 + i) % M3, (r5 * 10 + i) % M5, (r7 * 10 + i) % M7, limit && i == maxd);
    }
    if(!limit)
        dp[pos][r2][r3][r5][r7] = ans;
 
    return ans;
}
 
// 计算[0,n]中不是2 3 5 7倍数数的数量之和
LL solve(LL n)
{
    int len = 0;
    while(n) {
        digits[len++] = n % 10;
        n /= 10;
    }
    return dfs(len - 1, 0, 0, 0, 0, true);
}
 
int main()
{
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
 
    LL n;
    while(~scanf("%lld", &n))
        printf("%lld\n", solve(n));
 
    return 0;
}

https://blog.youkuaiyun.com/L_BestCoder/article/details/51177464 扩展

https://blog.youkuaiyun.com/yu121380/article/details/79265704