【HDU1695】GCD(莫比乌斯反演+容斥)

最新推荐文章于 2021-03-21 18:31:13 发布

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#gcd #组合数学 #acm #HDU #莫比乌斯反演

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组合数学莫比乌斯反演

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本文介绍了一种解决特定数学问题的算法实现，该问题旨在计算在给定区间内能够被特定整数整除的无序对的数量。通过将问题转化为更小的范围并利用莫比乌斯反演原理来减少计算复杂度。

记录一个菜逼的成长。。

题目链接
题目大意：
问x在[1,a]，y在[1,b]，有多少无序对gcd(x,y) == k

首先将范围缩小到[1,a/k]或[1,b/k]
要比较哪个范围较小，因为gcd(x,y)最大为k的min(a/k,b/k)倍
先求出所有的种数，然后再减去重复的

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
typedef long long LL;
const int maxn = 100000 + 10;
bool check[maxn];
int mu[maxn],prime[maxn];
void Mobius()
{
    cl(check,false);
    mu[1] = 1;
    int tot = 0;
    for( int i = 2; i < maxn; i++ ){
        if(!check[i]){
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for( int j = 0; j < tot; j++ ){
            if(i * prime[j] >= maxn)break;
            check[i*prime[j]] = true;
            if(i % prime[j] == 0){
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            else {
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
}
int main()
{
    Mobius();
    int T,cas = 1;scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int a,b,c,d,k;
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
        if(!k){
            printf("Case %d: 0\n",cas++);
            continue;
        }
        b /= k;
        d /= k;
        LL ans1 = 0,ans2 = 0;
        if(b > d)swap(b,d);
        for( int i = 1; i <= b; i++ ){
            ans1 += (LL)mu[i] * (b/i) * (d/i);
        }
        for( int i = 1; i <= b; i++ ){
            ans2 += (LL)mu[i] * (b/i) * (b/i);
        }
        printf("Case %d: %lld\n",cas++,ans1-ans2/2);//减去x,y都在[1,b/k]的种数，因为跟顺序无关，还要除以2
    }
    return 0;
}