循环冗余校验码（CRC码）

循环冗余校验码的思想：

例题：

注：
1.生成多项式即为约定的除数。
2.产生的余数为R位（比除数少一位）二进制数。
3.模二除法后得到的余数替换校验位，即得到对应的CRC码。

(CRC码除以约定的除数后等于0表示此次传输数据没有发生错误，反之则表示其中可能某些比特传输错误)

注：
1.这里与海明码不同，余数转换成十进制后的数与出错位没有必然的联系，例如，余数100转换成十进制后为4，但是出错位并不是4，而是3。
2.如果约定的除数不变，余数与出错位固定不变。

如图所示，给出了例题中出错位对应的余数：

例题中的余数有3位，说明可以表示8种状态，其中000代表传输正确，剩下001 ~ 111会分别表示1 ~ 7位出错，但是传输过去的CRC码一共有9位，剩下的2位会根据1 ~ 7位的出错余数循环表示。
所以说如果余数为010不一定会代表第2位出错，也有可能是第9位。

因为余数没有与出错位一一对应，这样子的CRC码好像只有检错能力，并没有起到纠错的功能，那是因为信息位太多。
如：

因为这个弊端，通常CRC码在实际应用中只用来检错。

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《模二运算》

1、模二加的运算法则：

0＋0＝0， 0 + 1 = 1， 1+ 0 = 1， 1+ 1 = 0
理解：两个二进制数相加相减不考虑进位
例：
01 + 11 = 10，
对于两个数的低位都是1，进行模二和为0，但是没有进位，所以高位的0 加1 还是1，因为不考虑低位的进位。

2、模二减的运算法则：

0 - 0 = 0， 0 - 1 = 1， 1 - 0 = 1， 1 - 1 = 0
例：
1 0 1 0 - 0 1 1 0 = 1 1 0 0
上式的减法中，第三位的减法中0 - 1，如果按照二进制的减法是有借位的，但是对于模二减是没有借位的，所以才会有第四位中的1 - 0仍然为1。

综上：模二加、模二减的结果与异或运算相同。

3.模二除的运算法则：

以例题为例：

1.被除数首位为1时商1,为0时商0。
2.商乘以除数与被除数进行模二减法（异或运算）。
3.去除首位，其余位数进行异或运算，被除数再补位，得到的余数作为新的被除数。
4.往后重复这些步骤直到被除数没有位可以补下来为止。

4.模二乘运算法则：

0 * 0 = 0， 0 * 1 = 0， 1 * 0 = 0， 1 * 1 = 1
模二乘法的运算的乘法部分与普通多位二进制数运算相似，但是加法部分用的则是模二加运算。
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