常用内部排序算法之三：堆排序

选择排序—堆排序（Heap Sort）

堆排序是一种树形选择排序，是对直接选择排序的有效改进。

基本思想：

堆的定义如下：具有n个元素的序列（k1,k2,...,kn),当且仅当满足

时称之为堆。由堆的定义可以看出，堆顶元素（即第一个元素）必为最小项（小顶堆）。

若以一维数组存储一个堆，则堆对应一棵完全二叉树，且所有非叶结点的值均不大于(或不小于)其子女的值，根结点（堆顶元素）的值是最小(或最大)的。如：

（a）大顶堆序列：（96, 83,27,38,11,09)

  (b)  小顶堆序列：（12，36，24，85，47，30，53，91）

初始时把要排序的n个数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树（一维数组存储二叉树），调整它们的存储序，使之成为一个堆，将堆顶元素输出，得到n 个元素中最小(或最大)的元素，这时堆的根节点的数最小（或者最大）。然后对前面(n-1)个元素重新调整使之成为堆，输出堆顶元素，得到n 个元素中次小(或次大)的元素。依此类推，直到只有两个节点的堆，并对它们作交换，最后得到有n个节点的有序序列。称这个过程为堆排序。

因此，实现堆排序需解决两个问题：
1. 如何将n 个待排序的数建成堆；

2. 输出堆顶元素后，怎样调整剩余n-1 个元素，使其成为一个新堆。

因此，实现堆排序需解决两个问题：
1. 如何将n 个待排序的数建成堆；

2. 输出堆顶元素后，怎样调整剩余n-1 个元素，使其成为一个新堆。

首先讨论第二个问题：输出堆顶元素后，对剩余n-1元素重新建成堆的调整过程。

调整小顶堆的方法：

1）设有m 个元素的堆，输出堆顶元素后，剩下m-1 个元素。将堆底元素送入堆顶（（最后一个元素与堆顶进行交换），堆被破坏，其原因仅是根结点不满足堆的性质。

2）将根结点与左、右子树中较小元素的进行交换。

3）若与左子树交换：如果左子树堆被破坏，即左子树的根结点不满足堆的性质，则重复方法 （2）.

4）若与右子树交换，如果右子树堆被破坏，即右子树的根结点不满足堆的性质。则重复方法 （2）.

5）继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作，直到叶子结点，堆被建成。

称这个自根结点到叶子结点的调整过程为筛选。如图：

再讨论对n 个元素初始建堆的过程。
建堆方法：对初始序列建堆的过程，就是一个反复进行筛选的过程。

1）n 个结点的完全二叉树，则最后一个结点是第个结点的子树。

2）筛选从第个结点为根的子树开始，该子树成为堆。

3）之后向前依次对各结点为根的子树进行筛选，使之成为堆，直到根结点。

如图建堆初始过程：无序序列：（49，38，65，97，76，13，27，49）

                                       

                                       

算法的实现：

从算法描述来看，堆排序需要两个过程，一是建立堆，二是堆顶与堆的最后一个元素交换位置。所以堆排序有两个函数组成。一是建堆的渗透函数，二是反复调用渗透函数实现排序的函数。

public class HeapSort2 {
	public void heapSort(int[] a) {
		
		//筛选从第a.length/2个结点为根的子树开始，该子树成为堆。
		for(int i = a.length/2;i>=0;i--){
			//建立一个最大堆
			heapAdjust(a,i,a.length-1);
		}
		for(int i=a.length-1;i>0;i--){
			//将堆顶元素与当前未经排序的最后一个记录交换
			swap(a,0,i);
			//将数组a中下标从0到i-1的子序列重新调整为最大堆
			heapAdjust(a,0,i-1);
		}
		
		for(int i=0;i<a.length;i++){
			System.out.println(a[i]);
		}
	}
	
	private void swap(int[] a,int i,int j){
		int temp = a[i];
		a[i] = a[j];
		a[j] = temp;
	}
	
    private void heapAdjust(int[] a,int s,int m){
    	int temp = 0,j=0;
    	//把堆顶元素保存在临时变量中
    	temp = a[s];
    	//由于s可能是0，所以需要+1。此外，如果当前结点的序号是s，那么其左孩子是2*s+1(+1是因为s可能是0)
    	for(j = 2*s+1; j<=m;j=2*j+1){
    		//找出左右孩子较大的结点的下标
    		if(j<m && a[j] < a[j+1]){
    			++j;
    		}
    		if(temp >= a[j]){
    			break;
    		}
    		//把较大的孩子结点的赋给当前结点
    		a[s] = a[j];
    		//把更大孩子结点的下标赋给s
    		s = j;
    	}
    	 //把原来s下标位置的值赋给新的下标为s的值，这样就完成了当前结点与更大孩子结点值的交换
        a[s] = temp;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        new HeapSort2().heapSort(new int[]{90,70,80,60,10,40,50,30,20});
    }
		
}

分析:

设树深度为k，。从根到叶的筛选，元素比较次数至多2(k-1)次，交换记录至多k 次。所以，在建好堆后，排序过程中的筛选次数不超过下式： 

                                

而建堆时的比较次数不超过4n 次，因此堆排序最坏情况下，时间复杂度也为：O(nlogn )。