KKT条件和拉格朗日对偶

最新推荐文章于 2024-12-08 15:44:52 发布

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KKT条件是拉格朗日乘子法的泛化，利用KKT条件，既可以求解等式约束为题也可以求解不等式约束问题，而拉格朗日乘子法，只能处理等式约束问题，直接上KKT条件；

主要参考陈宝林《最优化理论与算法》，理个脉络出来。证明见原书。为了后面的svm说明，这里不上等式约束，个别符号也有变化。

(1) 要解决的问题：

$min\ f(w) \\ s.t.\ g_{i}(w)\geqslant 0 , i = 1, 2, ...,m$

(2) Fritz John条件

若 $f,g_{i}$ 在 $w^{*}$ 处可微， $g_{i}$ 在 $w^{*}$ 处连续，则

如果 $w^{*}$ 是问题(1)的局部最优解，则存在 $\alpha_{0},\alpha_{i}\in \mathbb{R}$ ，使得：

$\alpha_{0}\triangledown f(w^{*}) - \sum_{i}^{m} \alpha_{i}\triangledown g_{i}(w^{*}) = 0$

(3) KKT条件

在Fritz John条件的前提中加入

$\{\triangledown g_{i}(w^*)\}$ 线性无关的条件，则

如果 $w^{*}$ 是问题(1)的局部最优解，则存在 $\alpha_{i}\in \mathbb{R}$ ，使得：

$\triangledown f(w^{*}) - \sum_{i}^{m} \alpha_{i}\triangledown g_{i}(w^{*}) = 0$

$\alpha_{i} g_{i}(w^{*}) = 0$

$\alpha_{i} \geqslant 0$

(4)定义Lagrange函数

$L(w,\alpha) = f(w) - \sum_{i}^{m} \alpha_{i}g_{i}(w)$

则上述KKT条件可以写成：

如果 $w^{*}$ 是问题(1)的局部最优解，则存在 $\alpha_{i}\in \mathbb{R}$ ，使得：

$L(w^{*},\alpha) = 0$

$\alpha_{i} g_{i}(w^{*}) = 0$

$\alpha_{i} \geqslant 0$

(5) KKT条件示例

后续补上。

拉格朗日对偶使用了

https://www.cnblogs.com/massquantity/p/10807311.html

比陈宝林书更好理解，而且能在SVM证明中顺畅使用，我做了点修改，如下：

(6)拉格朗日对偶

原始问题为：

$min\ f(w) \\ s.t.\ g_{i}(w)\geqslant 0 , i = 1, 2, ...,m$

其拉格朗日函数为：

$L(w,\alpha) = f(w) - \sum_{i}^{m} \alpha_{i}g_{i}(w)$

$\alpha_{i} \geqslant 0$

若 $w$ 违反了一些约束，既存在 $i$ 使得 $g_{i}(w)< 0$ ，则 $-max_{\alpha}(L(w, \alpha)) = \infty$ ，于是有：

$min_{w}max_{ \alpha}L(w, \alpha)\\ = min_{w}(f(w) - max_{ \alpha}(\sum_{i}^{m} \alpha_{i}g_{i}(x)))\\ = min_{w}(f(w) + \left\{\begin{matrix} 0,if \,w \, satisfied\,\, the \,constraints \\1 ,otherwise\end{matrix}\right.\\ = min_{w}f(w))$

则原始问题就等价于：

$min_{w}max_{ \alpha}L(w, \alpha)\\ s.t.\,\alpha_{i}\geqslant 0$

其对偶问题定义为：

$max_{ \alpha}min_{w}L(w, \alpha)\\ s.t.\,\alpha_{i}\geqslant 0$

当满足强对偶条件时：

slater 条件： f(x)为凸函数，g(x)为凹函数，且可行域中至少有一点使不等式约束严格成立时，强对偶性成立，对偶问题等价于原始问题。

有：

$min_{w}max_{ \alpha}L(w, \alpha)\,= max_{ \alpha}min_{w}L(w, \alpha)$

且必须满足KKT条件：

互补松弛： $\alpha_{i} g_{i}(w) = 0$

原始问题可行性： $g_{i}(w)\geqslant 0 , i = 1, 2, ...,m$

对偶问题可行性： $\alpha_{i}\geqslant 0$

拉格朗日平稳性： $\triangledown L(w, \alpha) = \triangledown f(w) - \sum_{i}^{m} \alpha_{i}\triangledown g_{i}(w) = 0$

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