48、恒定函数做市商：通过凸优化实现多资产交易

恒定函数做市商：通过凸优化实现多资产交易

1. 多资产交易概述

在交易场景中，两资产交易相对容易理解。我们只需确定想要接收（或提供）的资产数量，就能通过评估一个凸（凹）函数来确定需要提供（或接收）的资产数量。然而，多资产交易更为复杂。对于固定的接收篮子 ，存在许多有效的提供篮子；同样，当固定提供篮子 时，也有很多可接收的篮子 可供选择。

例如，考虑一个有 4 种资产的情况，采用几何平均交易函数，权重 $w_i = 1/4$，交易费用 $\gamma = 0.997$，储备 $R = (4, 5, 6, 7)$。当固定接收篮子为 = (2, 4, 0, 0) 时，存在许多有效的提供篮子。

2. 一般交易选择问题

我们将选择交易组合 (, ) 的问题转化为一个优化问题。交易者持仓的净变化为 - ，交易者使用效用函数 $U : R^n → R ∪ {−∞}$ 来评估持仓的净变化。若 $U( - ) > U( ˜ - ˜)$，则交易者更倾向于 (, ) 而非 ( ˜, ˜)，其中 $−∞$ 表示持仓变化不可接受。我们假设 $U$ 是递增且凹的。

为了选择能最大化效用的有效交易，我们求解以下问题：
[
\begin{align }
&\text{最大化} \quad U( - )\
&\text{约束条件} \quad \phi(R + \gamma - ) = \phi(R)\
&\quad \quad \quad \quad \quad \geq 0\
&\quad \quad \quad \quad \quad \geq 0