47、恒定函数做市商：通过凸优化实现多资产交易

恒定函数做市商：通过凸优化实现多资产交易

1. 价格与储备

在市场交易中，储备值与价格之间存在着重要的关系。对于两个不同的储备值 (R) 和 (\tilde{R})，它们对应的价格相同的充要条件是 (\nabla\phi(\tilde{R}) = \alpha\nabla\phi(R))，其中 (\alpha > 0)。

对于几何平均交易函数 (\phi(R) = \prod_{i=1}^{n} R_{i}^{w_{i}})，这里 (w_{i} > 0) 且 (\sum_{i=1}^{n} w_{i} = 1)，未缩放的价格为 (P = \nabla\phi(R) = \phi(R)(w_{1}R_{1}^{-1}, w_{2}R_{2}^{-1}, \cdots, w_{n}R_{n}^{-1}))，而价格 (p_{i} = \frac{w_{i}R_{n}}{w_{n}R_{i}})，(i = 1, \cdots, n)。

在两资产交易中，当用资产 (i) 交换资产 (j) 时，即 (\Delta = \delta e_{i}) 和 (\Gamma = \lambda e_{j})，汇率 (E_{ij} = \gamma \frac{\nabla\phi(R) {i}}{\nabla\phi(R) {j}} = \gamma \frac{P_{i}}{P_{j}} = \gamma \frac{p_{i}}{p_{j}})。这大致表示在小额交易中，每单位资产 (i) 能兑换到的资产 (j) 的数量。需要注意的是，当 (\gamma < 1) 时，(E_{ij}E_{ji} = \gamma^{2} < 1)，这意味着往返交易存在价