43、不变流形构建中的精度估计与后处理

不变流形构建中的精度估计与后处理

1. 动态和静态后处理公式

在动力系统中，对于形如 $\frac{dx}{dt} = J(x)$ 的系统，我们构建了近似不变流形并推导出慢运动方程：
$\frac{dx_{sl}}{dt} = P_{x_{sl}}(J(x_{sl}))$，其中 $x_{sl} \in \Omega_{sl}$。这里的 $P_{x_{sl}}$ 是平行于快速运动平面到 $\Omega_{sl}$ 的切空间 $T_{x_{sl}}$ 的投影算子。

求解上述慢运动方程得到 $x_{sl}(t)$ 后，我们会面临两个问题：
- 该解与具有相同初始条件的真实解 $x(t)$ 的近似程度如何？
- 是否可以利用 $x_{sl}(t)$ 对其进行细化？

需要强调的是，只有当慢系统是通过约化得到（即借助能识别快速纤维的投影算子 $P_{x_{sl}}$）时，这两个问题才有意义。若使用“某种”封闭近似而未明确“快速”和“慢速”的含义，这些问题就失去了意义。

这两个问题相互关联，第一个问题涉及精度估计，第二个问题则是后处理。

最简单的精度估计是“不变性缺陷”：
$\Delta x_{sl} = (1 - P_{x_{sl}})J(x_{sl})$

可以通过适当的范数计算 $\epsilon = \frac{|\Delta x_{sl}|}{|J(x_{sl})|}$ 来进行估计。

更全面的答案可以通过求解以下方程得到：
$\frac{d(\delta x)}{dt} = \Delta x_{sl}(t) + D_xJ(x)| {x