39、不变流形爆炸与吸引子维度估计

不变流形爆炸与吸引子维度估计

1. 不变流形爆炸示例

在聚合物动力学的研究中，FENE - P 模型有着重要的应用。对于该模型的两峰近似，其相轨迹有着独特的性质。垂直轴（ς = 0）对应着高斯流形，当α(M²) > 0 时，对应的三角形区域为指数不稳定区域，其中α的表达式为：
[α = κ - \frac{dU(M^2)}{dM^2}\big|_{M^2=\sigma^2}]
若α > 0，ς²会呈指数增长（ς ∼ e^(αt)），高斯流形不稳定；若α < 0，ς²呈指数减小，高斯流形稳定。在垂直轴附近，(\frac{d\sigma^2}{dt} = 1 + 2ασ^2)，相轨迹的形式可定性地在图中展示，且这一结果与相关方程完全一致。

对于具有非线性力定律（如 FENE 力）的线性 Fokker - Planck 方程，在有流场存在时，分子的运动可表示为在有效势阱(\tilde{U}(q) = U(q) - \frac{1}{2}κq^2)中的运动。FENE 势的相图有不同的变体，当流场存在时，Fokker - Planck 方程的单峰分布函数会出现不稳定和解离现象，这种不稳定发生在矩阵(\frac{\partial^2 \tilde{U}}{\partial q_i\partial q_j})开始有负特征值的时候。

1.1 多峰多面体与分子个体性

高斯流形的不稳定性会带来哪些可能的物理后果呢？在拉伸流中，稀聚合物的分子个体性现象从一开始就对理论提出了挑战。P.G. de Gennes 提出了“分子个体性”的概念，强调在这种情况下，通常的平均方法不再适用。在高应变率下，会观察到具有不同动力学的不同构象形状，在剪切流的进