37、稀聚合物溶液的普适极限研究

稀聚合物溶液的普适极限研究

1. 动力学构建基础

在研究中，借助与算子 (J_d) 最低本征向量相关联的投影算子 (P_M) 构建动力学。经直接验证，投影算子（13.58）能满足任意流形 (\Psi^{(n)} = \hat{\Psi}) 的条件（13.54）。所以，在构建不变流形和推导宏观方程这两个过程中，使用投影算子（13.58）是很自然的选择。这种通过谱投影算子定义动力学的方法，是“热力学参数化”概念的一种具体应用。

2. 线性零阶方程求解

• 线性不变流形形式 ：寻求形如 (\Psi^{(0)}(a) = \Psi_{eq} + \sum_{i = 1}^{n} a_i m_i) 的线性不变流形，其中 (a_i) 是该流形上的坐标。此流形可看作相关慢流形在平衡态附近的展开，但由于可能不具有正定性，其有效性范围受限。对于远离平衡态的大偏差情况，应考虑非线性不变流形，不过这超出了当前示例的范围。
• 慢运动流形构建 ：线性耗散系统（13.44）的慢运动由 (n) 维线性流形表示，该流形与 (n) 个最慢的本征模相关联，应构建为算子 (J_d) 对应其谱下部的本征向量 (\phi_i) 的线性包，即 (m_i = \phi_i)。
• 宏观变量动力学方程推导步骤 ：
  1. 用矩 (M_i[\Psi] = \langle\phi_i, \Psi\rangle_s) 的值对线性流形 (\Psi^{(0)}) 进行参数化，得到 (\Psi^{(0)}(M) = \Psi_{eq} + \sum