26、动力学中的松弛方法与不变网格方法解析

动力学中的松弛方法与不变网格方法解析

1. 松弛方法概述

1.1 参数 g 的计算

在松弛方法中，参数 g 的计算是一个关键步骤。若 $\min{N_2, N_1 + N_2} \geq 0$，则取 $g = 1$；否则，需计算 $M_1$（公式 9.75），并按以下公式计算 g：
[
g = \min\left{1, \lambda\frac{y’(1 + \lambda)}{1 - y’ + \lambda}\right}, \quad \lambda = \frac{2M_1}{|M_2|}
]

1.2 函数 $f_g(a)$ 的性质

通过上述方式得到的函数 $f_g(a)$（公式 9.38）具有以下重要性质：
1. 当 $a = 0$ 时，函数始于 $f_0$；当 $a = 1$ 时，函数止于 $f^0$。
2. 对于每个 $a$，它是关于 $\Gamma$ 的非负函数。
3. 满足守恒定律。
4. 熵 $S_B(f_g(a))$ 是关于 $a$ 的单调函数。
5. 在 $a = 0$ 处与精确轨迹相切。

在实际计算中，可用近似式 $f_1^ = f_0 + a_1^ Q_0$（其中 $a_1^ $ 由公式 9.32 确定）替代精确的 $f^ $ 进行算法计算。

1.3 松弛方法的主要结果

该方法的主要结果包括：
1. 对 $Q_0$ 主导的动力学及其平衡态 $f^ $ 进行了描述，并明确计算出了平衡态 $f^ $。