12、熵、准平衡与投影场相关理论及应用

熵、准平衡与投影场相关理论及应用

1 准平衡态分布函数与相关问题

在研究气体的准平衡态时，我们定义 $\Delta H[f^ , \phi]$ 为 $H$ 函数在第一个准平衡态 $f^ $ 附近按 $\phi$ 幂次展开的二次项。第二个准平衡近似的分布函数是以下问题的解：
[
\begin{cases}
\Delta H[f^ , \phi] \to \min \
\hat{M}_i[f^ \phi] = 0, & i = 1, \cdots, k \
\Delta\hat{N}_j[f^ , \phi] = \Delta N_j, & j = 1, \cdots, l
\end{cases}
]
其中，$\Delta\hat{N}_j$ 是表征（非线性）宏观参数 $N_j$ 相对于其在第一个准平衡态的值 $N_j^ = \hat{N}_j[f^*]$ 关于 $\phi$ 的线性偏差的线性算子。

得到的分布函数 $f = f^ (v, M)(1 + \phi^{ *}(v, M, \Delta N))$ 用于构建宏观参数 $M$ 和 $\Delta N$ 的封闭方程组。由于上述问题中的泛函是二次的，且所有约束都是线性的，所以该问题总是可以显式求解。

1.1 线性宏观变量与准平衡投影

当第一个和第二个准平衡态的所有宏观变量都是分布函数的矩时，我们可以考虑使用三角形熵方法的最简单示例。
设 $\mu_1(v), \cdots, \mu_k(v)$ 是确定第一个准平衡态的