2、动态系统慢（稳定）正不变流形的研究方法

动态系统慢（稳定）正不变流形的研究方法

1 引言

在动力学系统的研究中，慢（稳定）正不变流形的研究是一个重要的课题。主要研究对象是耗散动态系统，不过部分结果和方法也适用于保守系统。

1.1 基本概念与思路

1.1.1 非平衡统计物理中的慢不变流形

非平衡统计物理旨在提取慢不变流形。对于耗散系统，其相空间中存在慢运动流形。系统从初始条件快速进入该流形的小邻域，之后沿此流形缓慢运动。这个慢运动流形必须是正不变的，即若运动在(t_0)时刻始于该流形，那么在(t > t_0)时仍停留在该流形上。正不变性条件可明确表示为浸入相空间的流形的微分方程。

1.1.2 保守系统到耗散系统的过渡

从保守系统（如基于刘维尔方程的可逆力学）到耗散系统（如玻尔兹曼方程）的时间分离需要额外的思路和步骤。可以将大型保守系统的动力学表示为其小子系统动力学的结果，宏观上小的时间间隔对于小子系统而言可视为无限大的时间间隔。这使得可以将大型系统的弛豫表示为不可分割事件（如碰撞）的集合。

1.1.3 模型约化的几何结构

对于耗散系统，向量场(J(x))在相空间(U)上产生运动，即(dx/dt = J(x))。给定一个近似流形(\Omega)，它是不变流形的当前近似，可表示为映射(F: W \to U)的像。选择宏观变量空间(W)是模型约化的重要步骤，当前近似流形的所有修正都可表示为给定(W)下不同(F)的像。

投影向量场(PJ(x))属于切空间(T_x)，方程(dx/dt = PJ(x))描述了沿近似流形(\Omega)的运动（若初始状态属于(\Omega)）。空间(W)上的诱导