隔板原理在程序设计中的广泛应用

隔板原理在组合问题中的应用

 

杨亢尔

 

        问题：把 个相同的小球放入 个不同的盒子中 ，要求每个盒子非空，问有多少种不同的放法？

        这是一个常见的组合问题，可先将 个小球排成一列，然后在每两个小球的 个空档中插入 块隔板，这样就将 个小球分割成 组，每组小球依次放入 个盒子中，就得到 种不同放法。我们不妨把这种方法称为“隔板原理”，它在解决一类组合应用题时十分有用，试看以下几例：

        例1     某校高一年级共有12个班级，现要从中选出20名同学参加座谈会，要求每班至少有一名同学参加，共有多少不同的选法？

        解       将20个名额（小球）排成一列，在19个空挡中插入11块隔板，这样就把20个名额分成12份，所以共有 种选法。

        例2     把20个相同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中小球的数目不少于编号数，求不同的放法种数。

        解       先分别在编号为1，2，3，4的四个盒子中放入0，1，2，3个小球，再将剩余的14个小球用3块隔板分成四份依次放入这四个盒子中即可，其不同的放法种数有 种。

       例3     把10分成3个正整数之和，有

                   10=1+1+8=1+2+7=3+2+5=……

 如果计入不同的顺序，可用多少种方式写成三个正整数之和。

         解     设x₁+x₂+x₃=10，本题只须求此不定方程的正整数解（x₁,x₂,x₃）的组数，由隔板原理，在10个1的9个空挡中插入2块隔板即可，故共有 种方式写成三个正整数之和。

        例4      求不定方程x₁+x₂+x₃+x₄=10满足x₁≥2，x₂≥4，x₃≥－5，x₄≥0的整数解（x₁,x₂,x₃,x₄）的组数。

        解      要使x₁≥2，x₂≥4，x₃≥－5，x₄≥0，

       只须x₁－1≥1，x₂－3≥1，x₃+6≥1，x₄+1≥1，

        原方程可化为 （x₁－1）+ （x₂－3）+ （x₃+6）+（x₄+1）=13

       由隔板原理，可知满足条件的整数解共有 。

        例5     10名足球队员进行射门练习，如果总共进球数不超过100个，这些队员进球情况有多少种？

       解     设这10名队员进球数分别为x₁，x₂，…， x₁₀，

       由题意   x₁+x₂+…+x₁₀≤100

       此不等式的非负整数解（x₁，x₂，…，x₁₀）组数就是队员进球情况种数，

       设   x₁₁=100 －（x₁+x₂+…+x₁₀）≥0，

       则   x₁+x₂+……+x₁₀+ x₁₁=100，

       ∴  （x₁+1）+（x₂+1）+……+（x₁₀+1）+（ x₁₁+1）=111

       由隔板原理，这些队员进球情况共有 种。

      例6      晚会上共有10个演唱节目，4个舞蹈节目，要求每两个舞蹈节目之间至少有2个演唱节目，有多少种不同的节目顺序表？

      解     记演唱节目为〇，舞蹈节目为△，节目顺序表如下图所示：

 

         

     则x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10 且x₁≥0，x_2、x₃、x₄≥2，x₅≥0

∴    (x₁+1)+(x₂－1)+(x－1)₃+(x₄－1)+(x₅+1)=9

由隔板原理，这些演唱节目共有 种顺序，再考虑到演唱节目与舞蹈节目可进行全排列，故共有 ×10!×4!种不同的节目顺序表。