进制转换原理和python实现

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前言

生活中一般大家使用的数字通常是用十进制（decimal system）表示，意味着

1. 每一位数上满十，更高一位上数字加一，如9加1等于10
2. 按权展开，第一位权为10⁰， 第二位10¹ ……以此类推，第N位10^(N-1)，该数的数值等于每位的数值*该位对应的权值之和。
   $number(a_N{a}_{N-1}...a_1)(10)={\sum }_{i=1}^N{a}_i\ast 10^{i-1}=a_N\ast 10^{N-1}+a_{N-1}\ast 10^{N-2}+...+a_1$

而一些别的进制也存在于生活中，如时间秒和分之间是60进制(sexagesimal)，计算机使用的是二进制（binary system），月和年是12进制(duodecimal number system)，7天是1周，所以是7进制（septinary）。

如何将不同进制的数字进行转换呢？ 这里分为三种情况：

1. 将其余进制转位10进制
2. 将10进制转为其余进制
3. 其余进制之间互相转换

本文将介绍不同进制的转换的原理和如何使用python实现

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一、将非10进制数转为10进制数

原理

这个是相对简单的，假设某X进制数，表示为number(X)，则每个位数上可能有X个状态，从0到X-1。例如，

• 2进制下，数字为0，1，超过1则更高的数位上加1。如1的下一个数字是10（2）
• 12进制下，符号首先是普通的0到9，用A代表10，B代表11，超过11则更高的数位加1。如B（12）的下一个数字是10（12）

参考十进制的权重定义，在X进制下权为X，所以将数字转为10进制时
$$number(10)=number(a_N{a}_{N-1}...a_1)(X)=\sum _{i=1}^N{a}_i\ast X^{i-1}$$
$$=a_N\ast X^{N-1}+a_{N-1}\ast X^{N-2}+...+a_1$$

例如，将2AB(12)转为10进制，
$number(10)=2AB(12)=2\ast 12^{3-1}+A\ast 12^{2-1}+B\ast 12^{1-1}$
$A（12）=10(10),B（12）=11(10)$
$number(10)=2AB(12)=2\ast 12^2+10\ast 12+11\ast 1=419（1）$

python 实现

1. 不讲武德直接调用函数

int(x, base=10)，int()函数的用法可以参考这个文章，此处简单介绍

参数
x – 字符串或数字。
base – 进制数，默认十进制。

1. 当x是字符串时，则认为给定字符串对应的数字是base指定进制下的数字，然后再将其转换为十进制下的数字输出。若不输入base值时，base默认为10。字符串可能存在abc等英文字母代表相应进制下数字，不分大小写。a：10，b：11，以此类推。因此base最高为36，因为0到9共10个数，英文字母共26个。

int('10')         #output:10
int('10', 12)     #output:12，12进制下的10，是十进制下的12
int('1a', 12)     #output:22

2. 当x是数字时，后面不可加base，将float型小数数字转为10进制下整数int型，此处与主题无关

2. 手动实现int()

假设当出现高于10进制时候，使用的字符是英语字母a到z，不分大小写。假设给定的是合理的字符。

def int_self(num_str: str, base = 10):
    # ord('0') = 48, ord('9') = 57, 
    # ord('a') = 97, ord('z') = 122, 
    # ord('A') = 65, ord('Z') = 90
    n = len(num_str)
    ans = 0
    for i in range(n-1, -1, -1):
        if 48 <= ord(num_str[i]) <= 57: 
            ans += int(num_str[i]) * base**(n - i - 1)
        elif 97 <= ord(num_str[i]) <= 122 or 65 <= ord(num_str[i]) <= 90:
            ans += (ord(num_str[i].lower()) - 97 + 10) * base**(n-i-1)
        else:
            return False    #当有其他字符时候，报错 
    return ans  

int_self('10', 12)    # output: 12

二、将10进制数转为非10进制数

原理：

在上一个节已经知道
$$number(10)=number(a_N{a}_{N-1}...a_1)(X)=\sum _{i=1}^N{a}_i\ast X^{i-1}$$
$$=a_N\ast X^{N-1}+a_{N-1}\ast X^{N-2}+...+a_1$$
成立。现在需要将十进制下的数number(10)转化为 X进制下的数字 $(a_N{a}_{N-1}...a_1)(X)$ 。

先观察式子，$number(10)=a_N\ast X^{N-1}+a_{N-1}\ast X^{N-2}+...+a_2\ast X^1+a_1$，右边式子（RHS： right hand side）除以X，除了最后一项$a_1$,其余项都含有X的次方，都可以整除X，而且$a_1<X$，因此余数为$a_1$，因此可以

1. 用左边式子（LHS: left hand side）和右边式子（RHS）除以X的余数得$a_1$。
2. 然后将左边式子减$a_1$，然后除以X。此时
   $LHS=\frac{number(10)-a_1}{X}$
   $RHS=a_N\ast X^{N-2}+a_{N-1}\ast X^{N-3}+...+a_2$
3. 跟求$a_1$相同，重复1和2，可以依次从低位到高位，求得各数位上的数值$a_i$

python 实现

因为十进制的数已知，因此使用整数int为格式进行输入，而X进制可能存在大于十的数，所以用字符串输出。但对于大于十进制的数，余数可能大于9，需要将其转换为对应英文字母。此处为简化，全转为小写。

def convertToBase(num: int, base: int) -> str:
    if num == 0:
        return "0"
    negative = num < 0
    num = abs(num)
    digits = []
    while num:
        temp = num%base
        if temp <10:
            digits.append(str(num % base))
        else:
            # ord('a') = 97, ord('z') = 122, 
            temp_str = chr(temp - 10 + 97)
            digits.append(temp_str)
        num //= base
    if negative:
        digits.append('-')
    return ''.join(reversed(digits))

convertToBase(22,12)  # output: '1a'

三、其余进制之间互相转换

目前没有想到什么好办法，但可以根据上述部分，将初始值转为十进制，再将其转为要求进制下。

# num_str_input 为已知的字符串，base_input为初始进制值，
# temp_10为十进制数字，base_output为要求转为的进制值
# output为结果字符串
temp_10 = int(num_str_input, base_input)
output = convertToBase(temp_10, base_output)
output

总结

以上就是如何对进制进行转换的原理及python实现，基于数字0到9和26个英文字符（不分大小写），分别实现36进制以内的非十进制和十进制的转换。