进制转换原理和python实现

最新推荐文章于 2025-07-22 23:52:30 发布

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本文详细阐述了如何使用Python将非十进制数转换为十进制，包括直接调用函数和手动实现的方法，以及如何进行10进制与其他进制的转换，通过实例演示了转换过程。

文章目录

前言
一、将非10进制数转为10进制数
二、将10进制数转为非10进制数
- 原理：
- python 实现
三、其余进制之间互相转换
总结

前言

生活中一般大家使用的数字通常是用十进制（decimal system）表示，意味着

每一位数上满十，更高一位上数字加一，如9加1等于10
按权展开，第一位权为10⁰，第二位10¹ ……以此类推，第N位10^(N-1)，该数的数值等于每位的数值*该位对应的权值之和。
$number(a_{N}a_{N-1}...a_{1})(10) = \sum_{i=1}^{N}a_{i}*10^{i-1} = a_{N} * 10^{N-1} +a_{N-1}*10^{N-2} + ...+ a_{1}$

而一些别的进制也存在于生活中，如时间秒和分之间是60进制(sexagesimal)，计算机使用的是二进制（binary system），月和年是12进制(duodecimal number system)，7天是1周，所以是7进制（septinary）。

如何将不同进制的数字进行转换呢？这里分为三种情况：

将其余进制转位10进制
将10进制转为其余进制
其余进制之间互相转换

本文将介绍不同进制的转换的原理和如何使用python实现

一、将非10进制数转为10进制数

原理

这个是相对简单的，假设某X进制数，表示为number(X)，则每个位数上可能有X个状态，从0到X-1。例如，

2进制下，数字为0，1，超过1则更高的数位上加1。如1的下一个数字是10（2）
12进制下，符号首先是普通的0到9，用A代表10，B代表11，超过11则更高的数位加1。如B（12）的下一个数字是10（12）

参考十进制的权重定义，在X进制下权为X，所以将数字转为10进制时
$number(a_{N}a_{N-1}...a_{1})(X) = \sum_{i=1}^{N}a_{i}*X^{i-1}$
$a_{N} * X^{N-1} +a_{N-1}*X^{N-2} + ...+ a_{1}$

例如，将2AB(12)转为10进制，
$number(10) = 2AB(12)=2 * 12^{3-1} + A * 12 ^{2-1} +B*12^{1-1}$
$A （ 12 ） = 10 (10), B （ 12 ） = 11 (10)$
$number(10) = 2AB(12) = 2*12^{2} + 10*12+11*1=419（1）$

python 实现

1. 不讲武德直接调用函数

int(x, base=10)，int()函数的用法可以参考这个文章，此处简单介绍

参数
x – 字符串或数字。
base – 进制数，默认十进制。

当x是字符串时，则认为给定字符串对应的数字是base指定进制下的数字，然后再将其转换为十进制下的数字输出。若不输入base值时，base默认为10。字符串可能存在abc等英文字母代表相应进制下数字，不分大小写。a：10，b：11，以此类推。因此base最高为36，因为0到9共10个数，英文字母共26个。

int('10')         #output:10
int('10', 12)     #output:12，12进制下的10，是十进制下的12
int('1a', 12)     #output:22

当x是数字时，后面不可加base，将float型小数数字转为10进制下整数int型，此处与主题无关

2. 手动实现int()

假设当出现高于10进制时候，使用的字符是英语字母a到z，不分大小写。假设给定的是合理的字符。

def int_self(num_str: str, base = 10):
    # ord('0') = 48, ord('9') = 57, 
    # ord('a') = 97, ord('z') = 122, 
    # ord('A') = 65, ord('Z') = 90
    n = len(num_str)
    ans = 0
    for i in range(n-1, -1, -1):
        if 48 <= ord(num_str[i]) <= 57: 
            ans += int(num_str[i]) * base**(n - i - 1)
        elif 97 <= ord(num_str[i]) <= 122 or 65 <= ord(num_str[i]) <= 90:
            ans += (ord(num_str[i].lower()) - 97 + 10) * base**(n-i-1)
        else:
            return False    #当有其他字符时候，报错 
    return ans  

int_self('10', 12)    # output: 12

二、将10进制数转为非10进制数

原理：

在上一个节已经知道
$number(a_{N}a_{N-1}...a_{1})(X) = \sum_{i=1}^{N}a_{i}*X^{i-1}$
$a_{N} * X^{N-1} +a_{N-1}*X^{N-2} + ...+ a_{1}$
成立。现在需要将十进制下的数number(10)转化为 X进制下的数字 $a_{N}a_{N-1}...a_{1})(X)$ 。

先观察式子， $number(10) = a_{N} * X^{N-1} +a_{N-1}*X^{N-2} + ...+ a_{2} * X^{1}+a_{1}$ ，右边式子（RHS： right hand side）除以X，除了最后一项 $a_{1}$ ,其余项都含有X的次方，都可以整除X，而且 $a_{1} < X$ ，因此余数为 $a_{1}$ ，因此可以

用左边式子（LHS: left hand side）和右边式子（RHS）除以X的余数得 $a_{1}$ 。
然后将左边式子减 $a_{1}$ ，然后除以X。此时
$\frac{number(10)-a_{1} }{X}$
$RHS = a_{N} * X^{N-2} +a_{N-1}*X^{N-3} + ...+ a_{2}$
跟求 $a_{1}$ 相同，重复1和2，可以依次从低位到高位，求得各数位上的数值 $a_{i}$

python 实现

因为十进制的数已知，因此使用整数int为格式进行输入，而X进制可能存在大于十的数，所以用字符串输出。但对于大于十进制的数，余数可能大于9，需要将其转换为对应英文字母。此处为简化，全转为小写。

def convertToBase(num: int, base: int) -> str:
    if num == 0:
        return "0"
    negative = num < 0
    num = abs(num)
    digits = []
    while num:
        temp = num%base
        if temp <10:
            digits.append(str(num % base))
        else:
            # ord('a') = 97, ord('z') = 122, 
            temp_str = chr(temp - 10 + 97)
            digits.append(temp_str)
        num //= base
    if negative:
        digits.append('-')
    return ''.join(reversed(digits))

convertToBase(22,12)  # output: '1a'

三、其余进制之间互相转换

目前没有想到什么好办法，但可以根据上述部分，将初始值转为十进制，再将其转为要求进制下。

# num_str_input 为已知的字符串，base_input为初始进制值，
# temp_10为十进制数字，base_output为要求转为的进制值
# output为结果字符串
temp_10 = int(num_str_input, base_input)
output = convertToBase(temp_10, base_output)
output