31、凯莱自动群接近程度的度量

凯莱自动群接近程度的度量

在群论研究中，如何衡量凯莱自动群与自动群类的接近程度是一个重要问题。我们通过为函数 $f \in F$ 引入凯莱自动群类 $B_f$ 来进行这一衡量。

1. 德恩函数相关分析

对于由生成元集 $X$ 和关系集 $R$ 给出的群 $\langle X|R\rangle$，德恩函数定义为 $D(n) = \max_{u\in U_n}{\text{area}(u)}$，其中 $U_n = {u \in (X \cup X^{-1})^*|\pi(u) = e\land|u| \leq n}$ 是长度至多为 $n$ 且表示群 $\langle X|R\rangle$ 单位元的字的集合，$\text{area}(u)$ 是 $u$ 的组合面积，即 $u$ 在自由群 $F(X)$ 中可表示为 $u = \prod_{i=1}^{k} v_ir_i^{\pm1}v_i^{-1}$ 时最小的 $k$ 值，这里 $r_i \in R$。

以 Baumslag - Solitar 群 $BS(p, q)$（$1 \leq p < q$）为例，设 $w \in {a, a^{-1}, t, t^{-1}}^*$ 是表示 $BS(p, q)$ 中单位元且长度 $|w| \leq n$ 的字，它对应凯莱图中的一个环。通过重复自动群德恩函数至多为二次的论证，可将该环 $w$ 至多细分为 $K_0n^2$ 个长度至多为 $\ell(n) = 4h’(K_0n) + K_1$ 的环（$K_0$ 和 $K_1$ 为整数常数）。所以有 $D(n) \leq K_0n^2D(\ell(n))$，即 $D(n) \preceq n^2D(\ell(n))$。

对于