2、约束满足问题：复杂性与算法解读

约束满足问题：复杂性与算法解读

1. 原始正定义

原始正定义是理解约束满足问题（CSP）的基础概念。设Γ是有限集A上的一组关系（谓词），若关系R满足$R(x) = ∃y Φ(x, y)$，其中Φ是涉及Γ中的谓词和相等关系的合取式，则称R在Γ中是原始正（pp - ）可定义的，该公式即为R在Γ中的pp - 定义。若约束语言Δ中的每个关系都在Γ中是pp - 可定义的，则称Δ在Γ中是pp - 可定义的，这种定义方式也可用于关系结构。

例如，对于一个3元素完全图$K_3 = ([3], E)$，其边关系是[3]上的二元不等关系。通过pp - 公式：
$Q(x, y, z) = ∃t, u, v, w(E(t, x) ∧E(t, y) ∧E(t, z) ∧E(u, v) ∧E(v, w) ∧E(w, u) ∧E(u, x) ∧E(v, y) ∧E(w, z))$
可以定义关系Q，它由[3]中恰好包含2个不同元素的所有三元组组成。

原始正定义与非均匀CSP之间的可归约性存在关联。若约束语言Δ有限且在Γ中是pp - 可定义的，则$CSP(Δ)$可在多项式时间内归约到$CSP(Γ)$，后来发现这里的pp - 可定义性可被更一般的pp - 可构造性概念所替代。

2. 多态性和不变量

多态性为原始正可定义性提供了简洁的刻画。对于关系$R ⊆A^n$，若操作$f : A^k →A$满足对于任意$a_1, …, a_k ∈R$，元组$f(a_1, …, a_k)$也属于R，则称f是R的多态性。这里$f(a_1, …, a_k)$表示$(f(a_1[1], …, a_k[1]), …, f(a_1[n], …, a_k[n]))$。若f是约束语