11、图像恢复与分割技术：TV 恢复与主动轮廓模型解析

图像恢复与分割技术：TV 恢复与主动轮廓模型解析

1. TV 恢复的数值实现

TV（Total Variation）恢复方法在图像恢复领域有着重要的应用，它主要关注如何快速进行数值实现，以及其与表面动态演化的联系。

1.1 演化方程的几何解释

演化方程（11.24）在水平集演化方面有着有趣的几何解释。可以将其看作一个过程：首先，函数 (u) 的每个水平集以等于其平均曲率除以 (u) 的梯度范数的速度移动；然后，将结果投影回约束集，该约束集固定了噪声的方差。这个过程能够去除高曲率的噪声点，即使在存在陡峭梯度的情况下，也能保留分段光滑的干净函数在其跳跃不连续处的特征。

1.2 有限差分格式

当考虑 (\lambda = 0) 时，方程（11.24）可以近似表示为：
[
u_t = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{u_x}{\sqrt{u_x^2 + u_y^2 + \delta}} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{u_y}{\sqrt{u_x^2 + u_y^2 + \delta}} \right)
]
其中，(\delta > 0) 是一个非常小的值，用于避免在 (|\nabla u| = 0) 的地方出现除零错误。在数值计算中，存在严重的时间步长限制问题。直观上，显式格式应满足：
[
\frac{\Delta t}{(\Delta x)^2} \leq c \sqrt{u_x^2 + u_y^2 + \delta}
]
其中 (c