3、隐式表面的距离函数与运动分析

隐式表面的距离函数与运动分析

1. 有符号距离函数概述

有符号距离函数是隐式函数的一个子集。之前定义的隐式函数在内部区域 $\Omega^-$ 满足 $\varphi(\vec{x}) \leq 0$，在外部区域 $\Omega^+$ 满足 $\varphi(\vec{x}) > 0$，在边界 $\partial\Omega$ 上满足 $\varphi(\vec{x}) = 0$。而有符号距离函数在此基础上，额外规定在外部为正，内部为负，边界为零，并且满足 $|\nabla\varphi(\vec{x})| = 1$。

1.1 距离函数

距离函数 $d(\vec{x})$ 定义为：
$d(\vec{x}) = \min(|\vec{x} - \vec{x}_I|)$，对于所有 $\vec{x}_I \in \partial\Omega$。
这意味着在边界 $\vec{x} \in \partial\Omega$ 上，$d(\vec{x}) = 0$。从几何角度看，如果 $\vec{x} \in \partial\Omega$，则 $d(\vec{x}) = 0$；否则，对于给定的点 $\vec{x}$，找到边界集 $\partial\Omega$ 上离 $\vec{x}$ 最近的点 $\vec{x}_C$，那么 $d(\vec{x}) = |\vec{x} - \vec{x}_C|$。

对于给定的点 $\vec{x}$，若 $\vec{x}_C$ 是界面上离 $\vec{x}$ 最近的点，那么连接 $\vec{x}$ 和 $\vec{x}_C$ 的线段上的任意点 $\vec{y}$，$\vec{x}_C$ 也是界面上离 $\vec