7、界面运动与有符号距离函数构建解析

界面运动与有符号距离函数构建解析

1. 法向运动基础方程

在法向匀速运动的情况下，我们探讨界面在内部生成速度场作用下的运动。速度场定义为 $\vec{V} = a \vec{N}$ 或 $V_n = a$，其中 $a$ 为常数。对应的水平集方程为：
$\varphi_t + a|\nabla\varphi| = 0$
这里 $a$ 可正可负。当 $a > 0$ 时，界面沿法向运动；当 $a < 0$ 时，界面沿法向相反方向运动；当 $a = 0$ 时，方程简化为 $\varphi_t = 0$，此时 $\varphi$ 不随时间变化。

若 $\varphi$ 是有符号距离函数，方程可简化为 $\varphi_t = -a$，$\varphi$ 的值会根据 $a$ 的符号增加或减小。采用向前欧拉时间离散化，可得 $\varphi^{n + 1} = \varphi^n - a\Delta t$。
- 当 $a > 0$ 时，经过一个时间步长，$\varphi = 0$ 的等值线变为 $\varphi = -a\Delta t$ 的等值线，而 $\varphi = a\Delta t$ 的等值线变为 $\varphi = 0$ 的等值线，即 $\varphi = 0$ 的等值线沿法向前进 $a\Delta t$ 个单位，界面以速度 $a$ 沿法向运动。
- 对向前欧拉时间步长取梯度，有 $\nabla\varphi^{n + 1} = \nabla\varphi^n - \nabla(a\Delta t)$，由于 $a\Delta t$ 是空间常数，$\nabla(a\Delta t) = 0$，所以 $\nabla\varphi^{n + 1}