12、基于小扰动方程的喷管流动分析

基于小扰动方程的喷管流动分析

在流体力学领域，对喷管流动的分析是一个重要的研究方向。小扰动方程在这一分析中具有关键作用，下面将详细介绍小扰动方程的推导、波动方程以及小扰动方程的差分迭代计算。

1. 小扰动方程的推导

• 连续性方程 ：连续性方程可以表示为 $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathrm{div}(\rho U) = 0$。在速度涡度为零（$\nabla \times U = 0$）的假设下，速度场可以用标量值函数的梯度来描述，这个标量值 $\varphi$ 被称为速度势，即 $U = \nabla \varphi$。因此，连续性方程可以改写为 $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathrm{div}(\rho \nabla \varphi) = 0$。
• 推导关系 ：在小扰动线性化的推导中，在等熵条件下，可以推导出 $\frac{\rho}{\rho_0} = \left(1 - \frac{|\nabla \varphi|^2}{2H_0} - \frac{\partial_t \varphi}{H_0}\right)^{\frac{1}{\gamma - 1}}$，其中 $\rho_0$ 和 $H_0$ 分别是滞止密度和滞止焓。
• 代入化简 ：将上述关系代入连续性方程后，经过一系列推导和化简，在假设流动是稳定的情况下，方程可以简化。对于二维流动，由于 $Y$ 和 $Z$ 方向速度的影响较小，可忽略不计（即 $\varphi_y = \v