3、弹性机械臂动力学方程的非线性分析与多尺度求解

弹性机械臂动力学方程的非线性分析与多尺度求解

1. 弹性机械臂动力学方程推导

1.1 拉格朗日函数构建

在弹性机械臂的研究中，首先需要考虑系统的动能和势能。其中，$K_i$ 的计算公式为：
$K_i = EI\int_{0}^{1}[\frac{\partial^2\psi_i(x)}{\partial x^2}]^2dx$
这里，$g$ 是重力加速度。将系统的动能和势能代入拉格朗日函数 $L$ 中，可得到：
$L = \frac{1}{2}J\dot{\theta}^2(t) + \frac{1}{2}\dot{\theta}^2(t)\sum_{i = 1}^{n}M_iq_i^2(t) - \dot{\theta}(t)\sum_{i = 1}^{n}\sigma_iq_i(t) + \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}M_iq_i^2(t) - \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}K_iq_i^2(t) + \frac{1}{2}\rho Al^2g\cos\theta(t) - \rho Alg u(\frac{l}{2})\sin\theta(t)$

1.2 动力学方程推导

运用拉格朗日方程，可得到弹性机械臂的动力学方程：
$J\ddot{\theta}(t) + \sum_{i = 1}^{n}[M_iq_i^2(t)\ddot{\theta}(t) + 2M_iq_i(t)\dot{q}_i(t)\dot{\theta}(t) - \sigma_i\ddot{q}_i(t)] + \frac{1}{2}\rho Alg^2\sin\theta(t) + \rho