椭圆曲线与超椭圆曲线数学问题解析

1、利用点((x, y) = (1681/144, 62279/1728))处的切线来找到另一个面积为5的直角三角形。已知曲线方程为(y^{2}=x^{3}-25x)，且存在关系(x=(c/2)^{2})，(y=((a^{2}-b^{2})c)/8)以及(a^{2}+b^{2}=c^{2})，其中(a)、(b)、(c)为直角三角形的三条边。

首先需要求出曲线 $ y^{2} = x^{3} - 25x $ 在点 $ \left( \frac{1681}{144}, \frac{62279}{1728} \right) $ 处的切线方程。

1. 对 $ y^{2} = x^{3} - 25x $ 两边关于 $ x $ 求导，根据隐函数求导法则：
   $$
   2y \frac{dy}{dx} = 3x^{2} - 25
   $$
   则
   $$
   \frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2} - 25}{2y}
   $$

2. 将 $ x = \frac{1681}{144} $，$ y = \frac{62279}{1728} $ 代入 $ \frac{dy}{dx} $ 中，求出该点处切线的斜率 $ m $。

3. 利用点斜式：
   $$
   y - y_0 = m(x - x_0)
   $$
   （其中 $ (x_0, y_0) = \left( \frac{1681}{144}, \frac{62279}{1728} \right) $）得到切线方程。

4. 令切线方程与曲线方程 $ y^{2} = x^{3} - 25x $ 联立，得到一个新的方程。因为切线与曲线在该点相切，已知的切点对应的根是重根，根据韦达定理求出另一个根 $ x_1 $。

5. 将 $ x_1 $ 代入切线方程求出对应的 $ y_1 $。

6. 由于 $ x_1 = \left( \frac{c}{2} \right)^{2} $，可求出 $ c $ 的值。再根据 $ y_1 = \frac{(a^{2} - b^{2})c}{8} $ 以及 $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $，联立方程组求解出 $ a $ 和 $ b $ 的值，从而得到另一个面积为 5 的直角三角形的三条边 $ a $、$ b $、$ c $。

但具体的数值计算过程较为复杂，需要借助计算工具完成。

2、设E是域K上的一条椭圆曲线，P是阶为n的点（其中n不能被域K的特征整除）。设Q属于E[n]。证明存在整数k使得Q = kP当且仅当eₙ(P, Q) = 1。

证明充分性：

若存在整数 $ k $ 使得 $ Q = kP $，根据 Weil 对的性质，有
$$ e_n(P, Q) = e_n(P, kP) $$

由于 Weil 对是双线性的，所以
$$ e_n(P, kP) = e_n(P, P)^k $$

因为 $ P $ 的阶为 $ n $，所以 $ e_n(P, P) $ 是 $ n $ 次单位根，且
$$ e_n(P, P)^n = 1 $$

那么
$$ e_n(P, P)^k = 1^k = 1 $$

即
$$ e_n(P, Q) = 1 $$

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证明必要性：

已知 $ e_n(P, Q) = 1 $ 且 $ Q \in E[n] $，因为 $ n $ 不被域 $ K $ 的特征整除，可知
$$ E[n] \