6、单词自动机与时间粒度：优化表示及计算方法

单词自动机与时间粒度：优化表示及计算方法

1. 等价问题判定

判定两个给定的非确定性字符序列自动机（NCSSA）A1 和 A2 是否识别不同的无限（最终周期性）单词 w1 和 w2，可按以下步骤进行：
1. 猜测一个位置 1 ≤ i ≤ NA1NA2，其中 NA1 = O(|A1| 2|A1|) 且 NA2 = O(|A2| 2|A2|)。此猜测可在非确定性多项式时间 O(|A1| log |A1| + |A2| log |A2|) 内完成。
2. 检查 w1(i) ≠ w2(i) 是否成立。该检查可在确定性多项式时间 O(|A1|2 + |A2|2) 内完成，例如使用 GetSymbol 过程。

上述论证表明，NCSSA 的等价问题属于 co - NP 问题。目前，是否存在解决 NCSSA 等价问题的确定性多项式时间算法仍是一个开放问题。

2. 优化表示问题

2.1 优化问题定义

• 复杂度优化问题 ：尽可能降低给定 NCSSA A 的复杂度 ∥A∥。
• 状态优化问题 ：最小化给定 NCSSA A 的状态数量。

虽然 NCSSA 的复杂度和状态数量相关（前者至多是后者的二次函数），但复杂度最优和状态最优的自动机可能外观差异较大。例如，图 2.8 中的三个 NCSSA A1、A2 和 A3 识别相同的有限单词 ■■□■■□■■□。A1 和 A2 是状态最优的（n(A1) = n(A2) = 4，而 n(A3) = 6），A1 和 A3 是复杂度最优的（∥A1∥ = ∥A3∥