AtCoder Beginner Contest 351 E题 Jump Distance Sum

E题：Jump Distance Sum

标签：思维
题意：在坐标平面上，有$N$个点$P_1,P_2,\dots ,P_N$，其中点$P_i$的坐标为$(X_i,Y_i)$。
两点$A$与$B$之间的距离$dist(A,B)$定义如下：
一只兔子最初位于点 $A$。位置为$(x,y)$的兔子可以跳跃到
$(x+1,y+1)、(x+1,y-1)、(x-1,y+1)$或$(x-1,y-1)$ 。
$dist(A,B)$被定义为从$A$点到$B$点所需的最少跳跃次数。
如果经过任意次数的跳跃都无法从点$A$到达点$B$，则设为$dist(A,B)=0$。
计算总和$\sum _{i=1}^{N-1}\sum _{j=i+1}^N\text{dist}(P_i,P_j)$
题解：兔子的移动是对角移动，不太方便进行操作。我们可以把坐标轴旋转$45\%$，并缩放$\sqrt{2}$倍。那么$(x,y)$点移动到$(x+y,x-y)$。比如$(2,2)$变成$(2\sqrt{2},0)$，放大$\sqrt{2}$倍，为$(4,0)$。
原来位置为$(x,y)$的兔子可以跳跃到
$(x+1,y+1)、(x+1,y-1)、(x-1,y+1)$或$(x-1,y-1)$ 。
我们转换后兔子可以从$(x+y,x-y)$跳跃到$(x+y+2,x-y)、(x+y,x-y+2)、(x+y,x-y-2)$和$(x+y-2,x-y)$
转换成更通用的式子：兔子可以从$(x,y)$跳跃到$(x+2,y)、(x,y+2)、(x,y-2)$和$(x-2,y)$
那么我们观察到每次跳跃的距离都是偶数，也就是说如果$A=(x_1,y_1)，B=(x_2,y_2)$，$|x_1-x_2|$不能被$2$整除，或者$|y_1-y_2|$不能被$2$整除，那么兔子就无法从$A$到达$B$。
对于能到达的情况跳跃的最少次数显然等于$\frac{1}{2}(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|)$。
也就是说对于能够相互到达的两个点$A$和$B$，他们的转化后的$x$坐标的奇偶性和$y$坐标的奇偶性必须相同。
我们可以统计一下对应转化后的$x$奇/偶，$y$奇/偶的情况。然后去求一下对应情况下的跳跃次数。
这边举个例子：假设$x$奇，$y$奇的情况，得到的$x$的序列为
$13813$
第二个 3 到 1 的距离为 1 段 2 的距离。
第三个 8 到前面两个点的距离为 2 段 8 的距离减去前缀前两个距离之和，即$2\ast 8-(1+3)$
第四个 13 到前面两个点的距离为 3 段 13 的距离减去前缀 3 个距离之和，即 $3\ast 13-(1+3+8)$
注意题目中，转化后是$2$的距离跳的，所以跳跃的次数最后要除以$2$。
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
ll n, X, Y, ans = 0;
vector<ll> x[2][2], y[2][2];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> X >> Y;
        x[(X+Y)%2][abs(X-Y)%2].push_back(X+Y);
        y[(X+Y)%2][abs(X-Y)%2].push_back(X-Y);
    }

    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        for (int j = 0; j < 2; j++) {
            int nx = x[i][j].size();
            int ny = y[i][j].size();
            if (nx == 0) continue;

            sort(x[i][j].begin(), x[i][j].end());
            sort(y[i][j].begin(), y[i][j].end());

            ll prex = x[i][j][0], prey = y[i][j][0];;
            for (int k = 1; k < nx; k++) {
                ans += k * x[i][j][k] - prex;
                prex += x[i][j][k];
            }
            for (int k = 1; k < ny; k++) {
                ans += k * y[i][j][k] - prey;
                prey += y[i][j][k];
            }
        }
    }

    cout << ans / 2;
    return 0;
}