21、现代密码学：从算术到信息安全与隐藏

现代密码学：从算术到信息安全与隐藏

1. RSA加密算法

RSA公钥加密算法由Ron Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman在1978年发明。该算法允许通信双方无需事先协商共享密钥，从而避免了密钥分发问题。实际上，英国政府通信总部（GCHQ）的Clifford Cocks早在1973年就独立开发出类似方案，但直到1997年才解密。

在Alice向Bob发送消息前，Bob需要完成以下准备工作：
1. 选择两个大质数p和q，计算N = p * q 以及 Φ(N) = (p - 1) * (q - 1)。由于只有Bob知道p和q，所以只有他能进行这些计算。
2. 选择一个与Φ(N)互质的小整数e，并计算e在模Φ(N)下的乘法逆元d，即满足e * d ≡ 1 (mod Φ(N))。

此时，(N, e)是Bob的公钥，可公开；(N, d)是Bob的私钥，需保密。通信流程如下：
1. 加密阶段 ：Alice使用Bob的公钥(N, e)对明文M进行加密，得到密文C = M^e (mod N)。
2. 传输阶段 ：Alice将密文C发送给Bob。
3. 解密阶段 ：Bob使用私钥(N, d)对密文C进行解密，恢复出明文M = C^d (mod N)。

下面通过一个具体例子说明：
假设Bob选择p = 5，q = 11，则N = 55，Φ(N) = 40。他选择e = 7（因为gcd(e, Φ(N)) = 1），并计算出d = 23（满足e * d = 161 ≡ 1 (mod