上海计算机学会 2023年11月月赛丙组T2 染色（数学组合数学乘法原理）

信息学奥赛-王老师

于 2024-03-11 14:56:52 发布

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分类专栏：题目题解文章标签：算法图论 c++ 学习数据结构

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本文介绍了一种使用乘法原理解决组合数学中T2染色问题的方法，通过给定n个点的染色范围，对点进行排序后计算染色方案数量，并利用取模操作得到最终答案。给出的C++代码实现了这一过程。

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第二题：T2染色

标签：数学、组合数学、乘法原理
题意：给定 $n$ 个点和每个点能染色的范围： $1$ 到 $a_i$ 之间的整数，求最终染色方案，答案对 $10^9+7$ 取模。
题解：比如样例中的 $4 、 7 、 2$ ，染色方案： $2 * (4 - 1) * (7 - 2) = 30$ 。我们先给序列从小到大排下序，排完序之后，比如样例： $2 、 4 、 7$ ，第一个点有 $2$ 种染色选择（ $1 、 2$ ）；第二个点正常可以有 $4$ 种染色方案，但是第一个点占用了一种颜色，染色选择减一；同理，对于第三个点来说，被前两个点占用了两种颜色，染色选择减二，依此类推，通过乘法原理最终就能求解了。过程中，记得通过同余定理对模数取模。
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
ll a[300005], ans = 1;

int main() {
    ll n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    sort(a + 1, a + 1 + n);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans = ans * (a[i] - i + 1) % mod;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}