上海计算机学会 2023年12月月赛 丙组T3 数轴旅行（裴蜀定理）

第三题：T3数轴旅行

标签：裴蜀定理
题意：初始位置在$x=0$，要去$x=d$的位置，给定$n$个整数$a_1,a_2,a_3...,a_n$，表示每次可以往左移动$a_i$个单位或者往右移动$a_i$个单位，求最后能不到达$x=d$的位置。
（$1<=n<=10^5,1<=a_i<=10^9,-10^9<=d<=10^9$）
题解：经典裴蜀定理题，有兴趣的可以去看看证明，我这边直接说定理和结论。
裴蜀定理：对于$x$，$y$的二元一次不定方程 $ax+by=c$，其有解的充要条件为$gcd(a,b)|c$。
（$gcd(a,b)|c$这个数学表示为$c$能被$gcd(a,b)$整除）
由基础定理我们可以得到一个推论：
对于不定方程$x_1{y}_1+x_2{y}_2+...+x_n{y}_n=k$，$\forall y_i\in \mathbb{Z}$，其有解的充要条件为 gcd ⁡ { x i } ∣ k \gcd\{x_i\}\mid k gcd{xi​}∣k。
回到本题我们可以写出这个式子，$y_i$可以是$-1$和$1$：
$a_{1}y1+a_2{y}_2+...+a_n{y}_n=d$
那么问题就转变成了$d$能否被 [ 所有$a_i$的最大公约数 ] 整除，能整除就有解，反之无解。
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll gcd(ll a, ll b) {
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

int main() {
    ll n, a, d, g = 0;
    cin >> n >> d;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a;
        g = gcd(g, a);
    }
    if (d % g == 0) cout << "Yes";
    else cout << "No";
    return 0;
}