上海计算机学会 2023年12月月赛丙组T3 数轴旅行（裴蜀定理）

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本文介绍了一道关于在数轴上移动的题目，利用裴蜀定理分析能否到达给定位置，关键在于判断目标距离是否能被所有移动步长的最大公约数整除。通过计算gcd值来确定解的存在性，给出的C++代码实现了解题方法。

第三题：T3数轴旅行

标签：裴蜀定理
题意：初始位置在 $x = 0$ ，要去 $x = d$ 的位置，给定 $n$ 个整数 $a_1,a_2,a_3...,a_n$ ，表示每次可以往左移动 $a_i$ 个单位或者往右移动 $a_i$ 个单位，求最后能不到达 $x = d$ 的位置。
（ $1<=n<=10^5,1<=a_i<=10^9,-10^9<=d<=10^9$ ）
题解：经典裴蜀定理题，有兴趣的可以去看看证明，我这边直接说定理和结论。
裴蜀定理：对于 $x$ ， $y$ 的二元一次不定方程 $a x + b y = c$ ，其有解的充要条件为 $g c d (a, b) ∣ c$ 。
（ $g c d (a, b) ∣ c$ 这个数学表示为 $c$ 能被 $g c d (a, b)$ 整除）
由基础定理我们可以得到一个推论：
对于不定方程 $x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n=k$ ， $\forall y_i \in \Z$ ，其有解的充要条件为 $\gcd\{x_i\}\mid k$ 。
回到本题我们可以写出这个式子， $y_i$ 可以是 $- 1$ 和 $1$ ：
$a_1y1+a_2y_2+...+a_ny_n=d$
那么问题就转变成了 $d$ 能否被 [ 所有 $a_i$ 的最大公约数 ] 整除，能整除就有解，反之无解。
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll gcd(ll a, ll b) {
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

int main() {
    ll n, a, d, g = 0;
    cin >> n >> d;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a;
        g = gcd(g, a);
    }
    if (d % g == 0) cout << "Yes";
    else cout << "No";
    return 0;
}