Codeforces 1058C(思维+最大公因数)

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分析

引理1:三角形的面积$\times 2$一定是整数
由坐标系中的三角形面积公式
$$S=\frac{1}{2}(x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_1-x_1{y}_3-x_2{y}_1-x_3{y}_2)$$
显然得证
故若$\frac{2nm}{k}$是整数,则有解,否则无解

引理2:一定能构造出一个直角边平行于坐标轴的直角三角形,使它的面积为$\frac{nm}{k}$
设直角三角形两直角边为$a,b$,则$ab=\frac{2nm}{k}\le nm$
由引理1,$\frac{2nm}{k}$为正整数,显然一定可以拆分成两正整数之积,所以一定可以找到一对正整数$(a,b)$满足条件

根据引理1,我们来证明:
对于给定的任意正整数$n,m,k(k\ge 2)$,一定存在一个直角三角形的两直角边长为正整数$a,b$,且$a,b$满足条件$$ab=\frac{2nm}{k}$$
那么,如何构造$a\le n,b\le m$的情况呢
显然$2n$或$2m$中的至少一个数与$k$不互质,否则$\frac{2nm}{k}$不可能为正整数
(1)
若$gcd(2n,k)̸=1$,则
$$a=\frac{2n}{gcd(2n,k)},b=\frac{2nm}{ak}$$
由于$2\le gcd(2n,k)\le k$
则$a\le n$
$$b=\frac{2nm}{ak}=\frac{2nm}{\frac{2kn}{gcd(2n,k)}}=\frac{m\times gcd(2n,k)}{k}\le \frac{mk}{k}=m$$
故$b\le m$

(2)
若$gcd(2n,k)=1$,则$a=n,b=\frac{2m}{k}$
由于$k\ge 2$,显然得$b\le m$

综上所述,对于给定的任意正整数$n,m,k(k\ge 2)$,一定存在一个直角三角形的两直角边长为正整数$a,b$,且$a,b$满足条件$ab=\frac{2nm}{k}$

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
inline long long gcd(long long a,long long b){
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
long long n,m,k;
int main(){
	cin>>n>>m>>k;
	if((n*m*2)%k!=0){
		printf("NO\n");
	}else{
		printf("YES\n");
		long long S=(n*m*2)/k;
		long long a,b;
		if(gcd(n*2,k)!=1){
			a=n*2/gcd(n*2,k);
			b=S/a;
		}else{
			a=n;
			b=m*2/k;
		} 
		printf("0 0\n");
		printf("%I64d 0\n",a);
		printf("%I64d %I64d\n",a,b);
	}
}