CF908D New Year and Arbitrary Arrangement

最新推荐文章于 2021-01-19 12:24:15 发布

原创最新推荐文章于 2021-01-19 12:24:15 发布 · 298 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

就是数学(计数等) 同时被 2 个专栏收录

29 篇文章

订阅专栏

概率与期望

20 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种通过动态规划解决特定概率问题的方法：给定概率pa和pb，在满足一定条件下生成的序列中找到期望的AB子序列数量。

题意

给定三个数 $k$ , $pa$ , $pb$
每次有 $\frac{pa}{pa+pb}$ 的概率往后面添加一个’ $a$ ’
每次有 $\frac{pb}{pa+pb}$ 的概率往后面添加一个’ $b$ ’
当出现了 $k$ 个形如 $ab$ 的子序列（不用连续）时停止
求最后的 $ab$ 序列的期望数
答案对 $10^9+7$ 取膜

Sol

$f[i][j]$ 表示前面有 $i$ 个 $a$ ， $j$ 对 $ab$ 的期望 $ab$ 的对数
倒着来转移
显然
$f[i][j]=f[i+1][j]*\frac{pa}{pa+pb}+f[i][i+j]*\frac{pb}{pa+pb}$
答案就是 $f[0][0]$ 辣
然而 $f[0][0]=f[1][0]*\frac{pa}{pa+pb}+f[0][0]*\frac{pb}{pa+pb}$
不好算
移项后得到 $f[0][0]=f[1][0]$
所以输出 $f[1][0]$ 就好了

然而串长是无限的， $a$ 的个数也是无限的， $ab$ 的对数无限，它们可以到 $\infty$
这就很不好做了了

但是你会发现，当 $a$ 无穷多时，放一个 $b$ ， $ab$ 对数就会超过 $k$ ，显然直接就停了
对于 $f[i][j]$ ，当 $i+j>=k$ 时，考虑它的期望
也就是 $f[i][j]=\frac{pb}{pa+pb}\sum_{l=0}^{\infty}(\frac{pa}{pa+pb})^l(i+j+l)$
设
$S=\sum_{l=0}^{\infty}(\frac{pa}{pa+pb})^l(i+j+l)$
则
$\frac{pa}{pa+pb}S=\sum_{l=0}^{\infty}(\frac{pa}{pa+pb})^{l+1}(i+j+l)$
两式相减得
$(1-\frac{pa}{pa+pb})S=(i+j)+\sum_{l=1}^{\infty}(\frac{pa}{pa+pb})^l$
而
$\sum_{l=1}^{\infty}(\frac{pa}{pa+pb})^l$
也可以类似处理
得到就是
$\frac{\frac{pa}{pa+pb}-(\frac{pa}{pa+pb})^{\infty}}{1-\frac{pa}{pa+pb}}=\frac{pa}{pb}$
带回去
$(1-\frac{pa}{pa+pb})S=(i+j)+\frac{pa}{pb}$
即
$\frac{pb}{pa+pb}S=(i+j)+\frac{pa}{pb}$

所以
$f[i][j]=\frac{pb}{pa+pb}S=(i+j)+\frac{pa}{pb}$

# include <bits/stdc++.h>
# define RG register
# define IL inline
# define Fill(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int Zsy(1e9 + 7);

int k, pa, pb, invb, inv, f[1005][1005], Pa, Pb;

IL int Input(){
    RG int x = 0, z = 1; RG char c = getchar();
    for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) z = c == '-' ? -1 : 1;
    for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);
    return x * z;
}

IL int Pow(RG ll x, RG ll y){
    RG ll ret = 1;
    for(; y; y >>= 1, x = x * x % Zsy)
        if(y & 1) ret = ret * x % Zsy;
    return ret;
}

int main(RG int argc, RG char *argv[]){
    k = Input(), pa = Input(), pb = Input();
    invb = Pow(pb, Zsy - 2), inv = Pow(pa + pb, Zsy - 2);
    Pa = 1LL * pa * inv % Zsy, Pb = 1LL * pb * inv % Zsy;
    for(RG int i = k; i; --i)
        for(RG int j = k; ~j; --j)
            if(i + j >= k) f[i][j] = ((i + j) + 1LL * pa * invb % Zsy + Zsy) % Zsy;
            else f[i][j] = (1LL * f[i + 1][j] * Pa % Zsy + 1LL * f[i][j + i] * Pb % Zsy) % Zsy;
    printf("%d\n", f[1][0]);
    return 0;
}