带分数（蓝桥杯JavaB组预赛）

最新推荐文章于 2022-02-10 10:29:18 发布

oHouQiZhiXiu

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本文转自http://blog.youkuaiyun.com/keepthinking_/article/details/8947014

因为这位同学解释的相当明白，还给了详尽的代码，于是直接转载过来。看来以后再写博客的时候还是要认真点，多跟别人学习啊

标题：带分数
100 可以表示为带分数的形式：100 = 3 + 69258 / 714
还可以表示为：100 = 82 + 3546 / 197
注意特征：带分数中，数字1~9分别出现且只出现一次（不包含0）。

类似这样的带分数，100 有 11 种表示法。
题目要求：
从标准输入读入一个正整数N (N<1000*1000)
程序输出该数字用数码1~9不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。
注意：不要求输出每个表示，只统计有多少表示法！
例如：
用户输入：
100
程序输出：
11
再例如：
用户输入：
105
程序输出：
6
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 64M
CPU消耗 < 3000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.6及以上版本的特性。

注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。

分析：这道题初看起来第一感觉就是用暴力破解应该可以搞定，但是时间复杂度应该会相当可观，仔细观察，会发现这道题无非是全排列的一种运用，把等式定义为：

N=A+B/C ，则ABC组合在一起就是1到9的一个全排列，所以可以把问题转换成对于一个9位数的数字，如何将其划分为A、B、C三部分，使得其满足N=A+B/C（隐含条件:

B%C==0）,对于一个9位数可以这样考虑：A是不可能大于N的，所以A的位数只可能是从1位到和N相同位数这个范围，确定了A的位数之后，剩下的就是B和C的总位数，

B数字的开始位置即A数字的下一位，C数字的最后一位就是整个9位数的最后一位，那如何确定B的结束位置呢？

这里有个小技巧，可以大大减少可能性的判断：

假设A的结束位置为 aEnd,则aEnd+1~9就是B和C的位置，在这个位置范围内，B最少占据了一半的数字，否则B/C就不能整除了，所以可以从aEnd+1~9的中间位置开始

确定B的结束位置，这时候可以从中间位置开始向后确定B的结束位置，一直到8的位置，确定了B的结束位置，则A、B、C三个数字的具体值就都可以确定了，判断是否符

合等式N=A+B/C，符合则输出。

以上确定B的结束位置的方法其实不怎么好，因为还是会浪费一些时间（自己模拟下就知道了），不过已经可以在规定的时间内得出答案了。

这里再介绍一种确定B结束位置的方法，可以让性能再提高一些：

观察等式：N=A+B/C，可以转换成==》B=(N-A)*C，N和A确定了(先确定A的结束位置后，再来确定B的结束位置的)，C的最后一个数字确定了(整个9位数最后一位)，即可以确定B最后一个数字了(这里将其定义为BL)，这样可以从以上的aEnd+1~9的中间位置开始找，直到8，当数字为BL时，则判读是否符合等式：N=A+B/C，可以想想，其实这种等于BL的位置至多有一次(因为数字1到9不能重复出现)，所以第一次找到和BL匹配的数字的时候就不用再往后找了。用这种方法，提高的性能还是非常可观的！

思想其实挺简单，想不到打成字这么麻烦，将就着看吧，以下为java版的代码：

[java]view plaincopy 
   
 import java.util.Scanner;  
   
 public class ys_09 {  
       
     public static void main(String[] args) {  
         //将等式定义为：N=A+B/C  
         Scanner scanner=new Scanner(System.in);  
         N=scanner.nextInt();  
         long start=System.currentTimeMillis();  
         int[] s=new int[]{1,2,3,4,5,6,7,8,9};  
         NLength=(N+"").length();  
         allRange(s, 0, s.length-1);  
         long end=System.currentTimeMillis();          
         System.out.println("耗时:"+(end-start)+" ms");  
         System.out.println("总数为:"+kinds+" 种");    
     }  
     public static int N;  
     public static int NLength;//N数字的长度  
     public static int kinds;  
     public static void process(int[] s){  
         String str="";  
         for(int i=0;i<9;i++) str+=s[i];  
         int A,B,C,NMA,BC,BMCL,BLastNumber;  
         //A的位数  
         for(int i=1;i<=NLength;i++){  
               
             /* 
             //方法1 
             A=Integer.valueOf(str.substring(0, i)); 
             NMA=N-A;//N减去A的值 
             if(NMA<=0)return; 
             BC=9-i;//B和C还有多少为可用 
             BMCL=(NMA+"").length();//B/C的长度  
             //确定的B的结束为止 
             for(int j=i+BC/2;j<=8;j++){//可以优化这里 
                 B=Integer.valueOf(str.substring(i,j)); 
                 C=Integer.valueOf(str.substring(j,9)); 
                 if(B%C==0&&B/C==NMA){ 
                     kinds++; 
                     System.out.println(N+"="+A+"+"+B+"/"+C); 
                 } 
             } 
             */  
               
             //方法2  
             A=Integer.valueOf(str.substring(0, i));  
             NMA=N-A;   
             if(NMA<=0)return;  
             BC=9-i;//B和C总共多少位  
   
             BLastNumber=(NMA*s[8])%10;//B最后的数字  
             //j为B最后一个数字的位置  
             //B最少占有B和C全部数字的一半，否则B/C不可能为整数  
             for(int j=i+BC/2-1;j<=7;j++){  
                 //找到符合的位置  
                 if(s[j]==BLastNumber){  
                     B=Integer.valueOf(str.substring(i,j+1));  
                     C=Integer.valueOf(str.substring(j+1,9));  
                     if(B%C==0&&B/C==NMA){  
                         kinds++;  
                         System.out.println(N+"="+A+"+"+B+"/"+C);  
                     }  
                     //符合要求的位置只可能出现一次  
                     break;  
                 }  
             }  
         }  
     }  
     public static void swap(int[] s,int a,int b){  
         if(a==b)return;  
         int tmp=s[a];  
         s[a]=s[b];  
         s[b]=tmp;  
     }  
     //全排列  
     public static void allRange(int[] s,int k,int m){  
         if(k==m){  
             process(s);  
             return;  
         }  
         else{  
             for(int i=k;i<=m;i++){  
                 swap(s,k,i);  
                 allRange(s, k+1, m);  
                 swap(s,k,i);  
             }  
         }  
     }  
 }  

输入:100

输出:

[java]view plaincopy 
   
 100=3+69258/714  
 100=82+3546/197  
 100=81+5643/297  
 100=81+7524/396  
 100=94+1578/263  
 100=96+2148/537  
 100=96+1428/357  
 100=96+1752/438  
 100=91+5742/638  
 100=91+5823/647  
 100=91+7524/836  
 耗时:554 ms  
 总数为:11 种  

另外补充一份C语言实现的代码：

[cpp]view plaincopy 
   
 #include <stdio.h>  
 #include <stdlib.h>  
 #include <time.h>  
   
 int number, n = 0;  
 int list[9] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};  
   
 int test;  
   
 void swap(int *a, int *b)  
 {  
     int temp = *a;  
     *a = *b;  
     *b = temp;  
 }  
   
 int getNum(int s, int an)  
 {  
     int i, num = 0;  
     for (i = s; i <= an; i++)  
     {  
         num = list[i] + num * 10;  
     }  
     return num;  
 }  
   
 void perm(int k, int m, int x)  
 {  
     int i, j, a, b, c;  
       
     if (k > m)  
     {  
         for (i = 0; i < x; i++)  
         {  
             a = getNum(0, i);  
             test=((number-a)*list[8])%10;  
             for (j =i+(8-i)/2; j < 8; j++)  
             {  
                 if(list[j]==test)  
                 {  
                     b = getNum(i + 1, j);  
                     c = getNum(j + 1, 8);  
                     if (b % c == 0 && a + b / c == number)  
                     {  
                         n++;  
                     }  
                     break;  
                 }  
             }  
               
         }  
           
     }  
     else  
     {  
         for (i = k; i <= m; i++)  
         {  
             swap(&list[k], &list[i]);  
             perm(k + 1, m, x);  
             swap(&list[k], &list[i]);  
         }  
     }  
 }  
   
 int main()   
 {  
     clock_t s1, s2;  
     int temp, x;  
     while(scanf("%d", &number) != EOF && number != 0)  
     {  
         x = 0;  
         temp = number;  
         s1 = clock();  
         n = 0;  
         while (temp != 0)   
         {  
             x++;  
             temp /= 10;  
         }  
         perm(0, 8, x);  
         printf("total:%d\n", n);  
         s2 = clock();  
         printf("%f ms\n", (double)(s2 - s1));  
     }  
 }  