CSP-J/S 动态规划模版讲解

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原创最新推荐文章于 2026-08-23 09:31:02 发布 1k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

【CSP考题扩展】动态规划入门（1） 动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学等领域中使用的，用来解决特定类型问题的算法思想。其核心思想在于解决复杂问题的过程中，把问题分解为相对简单的子问题，通过解决这些子问题来解决整个问题。阅读详情

CSP-J/S 动态规划模版讲解

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part 1：动态规划起源与理解

起源

在一次信奥赛中一位选手使用一种新算法秒掉了其他选手，该算法时间复杂度比那些O(N2)快多了，定名为动态规划

理解

实际上就是做出一个表格，每一个代表一个状态，所以做这个最需要的就是状态转移方程
其实动态规划(Dynamic Programming)是一种通过将复杂问题分解为更简单的子问题来解决问题的方法。它适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

part 2：为什么讲动态规划而不是其他算法

请看2019~2023年CSP第一轮考试知识点

年份	阅读程序1	阅读程序2	阅读程序3	完善程序1	完善程序2
2019	枚举	递推	分治	递归	计数排序
2020	枚举	枚举	质因数分解	约瑟夫环	二分
2021	递归	动规	二分	质因数分解	贪心
2022	位运算	动规	二分	递推	广搜
2023	枚举	字符串	质因数分解	二分	动规

可以看到，在2019~2023年间二分考了4次，枚举考了3次，而动规也考了3次。
但是为什么不讲二分或枚举呢？
很简单，因为枚举在编程题不经常考，
而二分只是一种思想，并没有固定代码模版 ~~（换句话说就是不好讲）~~。
可以看到，动规在一轮考的次数不算少，所以二轮占的比重一定很大（基本3,4题里面肯定有一道）。再看看历年真题，大部分题目不想超时就得用特殊的方法，动规就是其中的一种

part 3：代码模版

第一类：背包问题

听到他一定很耳熟，大部分背包问题都是用动规求解
代码都很相似，不要搞错了

1.1 01背包

就是这种东西要么不装要么装

二维状态转移方程：

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=V;j++){
        f[i][j]=f[i-1][j];
        if(v[i]<=j){
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
}
cout<<f[n][V];

一维状态转移方程：

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=V;j>=v[i];j--){
        f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
}
cout<<f[V];

1.2 完全背包

二维状态转移方程：

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=V;j++){
        f[i][j]=f[i-1][j];
        if(j>=v[i]){
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
}
cout<<f[n][V];

一维状态转移方程：

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=v[i];j<=V;j++){
        f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
}
cout<<f[V];

1.3 多重背包

二维状态转移方程：

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=V;j>=v[i];j--){
        for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;i++)
            f[j]=max(f[j-k*v[i]]+k*w[i]);
    }
}

上述代码时间复杂度约为：
O(n⋅m⋅s)，很容易超时

多重背包二进制优化：转为二进制，用01背包求解

for(int i=1;i<=n;i++){
    int vi,wi,si,t=1;
    cin>>vi>>wi>>si;
    while(si>=t){
        v[++cnt]=vi*t;
        w[cnt]=wi*t;
        si-=t;
        t*=2;
    }
    if(s>0){
        v[++cnt]=vi*si;
        w[cnt]=wi*si;
    }
}
for(int i=1;i<=cnt;i++){
    for(int j=V;j>=v[i];j--)
        f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
cout<<f[V];

这样就可以减少一层循环，比原来的快约s倍

1.4 分组背包

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=V;j>=1;j--){
        for(int k=1;k<=s[i];k++){
            if(j>=v[i][k])
            	f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+v[i][k]);
        }
    }
}
cout<<f[V];

第二类：线性DP

2.1：数字三角形

f[1][1]=a[1][1];
for(int i=2;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=i;j++){
        f[i][j]=max(f[i-1][j-1]+a[i][j],f[i-1][j]+a[i][j]);
    }
}

2.2:最长上升子序列LIS

for(int i=1;i<=n;i++){
    f[i]=1;
    for(int j=1;j<=i;j++){
        if(a[j]<a[i])
            f[i]=max(f[i],f[j]+1);
    }
}
int ans=0;
for(int i=0;i<=n;i++)
    ans=max(ans,f[i]);
cout<<ans;

第三类：区间DP

3.1：石子合并

描述

在一个操场上一排地摆放着N堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。
设计一个程序，计算出将N堆石子合并成一堆的最小得分。

输入描述

第一行为一个正整数N (2≤N≤100)；
以下N行,每行一个正整数，小于10000，分别表示第i堆石子的个数（1≤i≤N）。

输出描述

为一个正整数，即最小得分。

用例输入 1

用例输出 1

来源

动态规划区间动归

for(int i=1;i<=n;i++)
    s[i]+=s[i-1];
for(int len 2;len<=n;len++){
    for(int i=1;i+len-1<=n;i++){
        int l=i,r=i+len+1;
        for(int k=l;k<r;k++)
            f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);
    }
}
cout<<f[1][n];