CCF CSP 有趣的数 动态规划

问题描述

　　我们把一个数称为有趣的，当且仅当：
　　1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。
　　2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。
　　3. 最高位数字不为0。
　　因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。
　　请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。

输入格式

　　输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。

输出格式

　　输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。

样例输入

4

样例输出

3

________________________________________________________________________

这题插入0、1、2、3的规则我们可以看做是几个状态的相互转化，可以构成一个状态机。首先根据规则我们可以知道第一位数一定是2，我们把只插入2的情况表示为状态0，之后5种不同的状态由这一点发起。共6种状态由如下描述。

1. 状态0表示出现了2，还未出现0和3，只出现了2，可使用0、2、3。 
2. 状态1表示出现了0、2,可使用0、1、2 。
3. 状态2表示出现了0、1、2且未出现3，可使用1、2、3 。
4. 状态3表示出现了2、3且未出现0，可使用0、3。
5. 状态4表示出现了0、2、3，未出现1，可使用0、1、3。 
6. 状态5表示出现了0、1、2、3，可使用1、3 。

这6种状态可以构成如下的状态转换图：

可惜的是，我都已经画出状态转换关系图了，居然还用深度搜索去做，时间果断爆炸才20分，傻到家。有了转换关系我应该立刻想到用动态规划来做。从图中来可以看出，例如恰好n位数的状态5可以由n-1位的状态2添加一个3，状态4添加一个1，状态5添加一个1或者3转换而来，也就是说，n为状态5的数量是n-1位的  状态2+状态4+状态5*2 。有了状态转移方程，问题都迎刃而解。

先贴出我开始犯傻时用的深搜代码，20分，纪念一下。

#include<iostream>
using namespace std;
int n;
int num;
int set[5];//false表示没有使用过i 
void DFS(int a,int t,int flag)
{
	bool set_flag = false;
	if(set[a]==0)//在此之前还位使用过a 
	{
		set_flag = true;  //表示当前是第一次设置了a 
		set[a] = 1;
		set[4]++;         //记录当前使用了几个数 
	}
	if((4-set[4])>n-t)//未使用的数的数量小于剩下可加入的数量 
	{
		if(set_flag)
	    {
	    	set[a]=0;
	    	set[4]--; 
     	}
		return ;
	}
	if(flag==0)
	{
		DFS(2,t+1,0);
		DFS(0,t+1,1);
		DFS(3,t+1,3);
	}else if(flag == 1)
	{
		DFS(2,t+1,1);
		DFS(0,t+1,1);
		DFS(1,t+1,2);
		DFS(3,t+1,4);
	}else if(flag == 2)
	{
		DFS(1,t+1,2);
		DFS(2,t+1,2);
		DFS(3,t+1,5);
	}else if(flag == 3)
	{
		DFS(0,t+1,4);
		DFS(3,t+1,3);
	}else if(flag == 4)
	{
		DFS(0,t+1,4);
		DFS(3,t+1,4);
		DFS(1,t+1,5);
	}else{

        //到达状态5后可直接计算当前情况下能产生多少不同的解 
		int temp = n-t,count=1;
		for(int i=0;i<temp;i++)
		{
			count = (count*2)%1000000007;
		}
		num = (num + count)%1000000007;
		if(set_flag)
	    {
		    set[a]=0;
		    set[4]--; 
	    }
		return ; 
	}
}

int main()
{
	cin >> n;
	DFS(2,1,0);
	cout << num;
	return 0;
} 

下面是用动态规划做的，代码没几行，100分。

#include<iostream>
using namespace std;
#define MAXX 1010
#define MOD 1000000007
int n;
int num;
long long dp[MAXX][6];

int main()
{
	cin >> n;
	dp[1][0]=1;
	dp[1][1]=dp[1][2]=dp[1][3]=dp[1][4]=dp[1][5]=0;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		dp[i][0] = 1;
		dp[i][1] = (dp[i-1][1]*2 + dp[i-1][0]) % MOD;
		dp[i][2] = (dp[i-1][2]*2 + dp[i-1][1]) % MOD;
		dp[i][3] = (dp[i-1][3] + dp[i-1][0]) % MOD;
		dp[i][4] = (dp[i-1][4]*2 + dp[i-1][1] + dp[i-1][3]) % MOD;
		dp[i][5] = (dp[i-1][5]*2 + dp[i-1][2] + dp[i-1][4]) % MOD;
	} 
	
	cout << dp[n][5] << endl;
	return 0;
}