康拓展开

康托展开是什么？

定义：

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!

ai为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)

简单点说就是，判断这个数在其各个数字全排列中从小到大排第几位。

比如 132，在1、2、3的全排列中排第2位。

康托展开有啥用呢？

维基：n位（0~n-1）全排列后，其康托展开唯一且最大约为n!，因此可以由更小的空间来储存这些排列。由公式可将X逆推出对应的全排列。

它可以应用于哈希表中空间压缩，

而且在搜索某些类型题时，将VIS数组量压缩。比如:八数码、魔板。。

康托展开求法：

比如2143 这个数，求其展开：

从头判断，至尾结束,

① 比 2（第一位数）小的数有多少个->1个就是1，1*3!

② 比 1（第二位数）小的数有多少个->0个0*2!

③ 比 4（第三位数）小的数有多少个->3个就是1,2,3，但是1,2之前已经出现，所以是  1*1!

将所有乘积相加=7

比该数小的数有7个，所以该数排第8的位置。

1234  1243  1324  1342  1423  1432
2134  2143  2314  2341  2413  2431
3124  3142  3214  3241  3412  3421
4123  4132  4213  4231  4312  4321

康拓展开的代码：

int fac[10]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};
// 康拓展开 是将全排列转会为数字，压缩空间； 
int kangtuo(int n,char str[])  //n为全排列字符的长度，str[] 为这个的全排列 
{
	int i,j;                 //全排列 我这个康拓返回的是1~fac[n],因return的是sum+1 
	int t,sum = 0;
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		t = 0;        //后面比它小的个数； 
		for(j = i+1;j<n;j++)
			if(str[i]>str[j])
				t++;
		sum +=t*fac[n-i-1]; //fac[k], k为第i位后面还有多少位； 
	}
	return sum+1;
}

康托展开的逆：

康托展开是一个全排列到自然数的双射，可以作为哈希函数。

所以当然也可以求逆运算了。

逆运算的方法：

假设求4位数中第19个位置的数字。

① 19减去1  → 18

② 18 对3！作除法 → 得3余0

③  0对2！作除法 → 得0余0

④  0对1！作除法 → 得0余0

据上面的可知：

我们第一位数（最左面的数），比第一位数小的数有3个，显然 第一位数为→ 4

比第二位数小的数字有0个，所以 第二位数为→1

比第三位数小的数字有0个，因为1已经用过，所以第三位数为→2

第四位数剩下 3

该数字为  4123  (正解)

代码：

int fac[10]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};
//康拓展开的逆运算，把一个数 转化为 全排列，n为全排列的长度，str[] 要存全排列的数组，num为要转化的数；
void re_kangtuo(int n,char str[],int num)   
{
	int i,j,t,book[10] = {0};
	num--;                  // 因我康拓时，返回的是sum+1；
	for(i=0;i<n;i++)        //一定要先算最左边一位，依次类推； 
	{
		t = num/fac[n-i-1];   
		for(j = 1;j<=n;j++)
		{
			if(!book[j])
			{
				if(t==0) break;
				t--;       // 第i位后有几位小于自身的； 
			}
		}
		
		str[i] = j+'0';
		book[j] = 1;    //把找到的数标记了
		num = num%fac[n-i-1];
	}
	str[n] = '\0';	
}