算法概论第八章部分习题解答

本文探讨了吝啬SAT与EXACT4SAT问题的NP完全性证明。吝啬SAT要求找到最多k个变量为真的满足赋值;EXACT4SAT要求每个子句恰好包含4个文字,并且每个变量最多出现一次。通过归约法证明了这两个问题均为NP完全。

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8.3 吝啬SAT问题是这样的:给定一组子句(每个子句都是其中文字的析取)和整数k,求一个最多有k各变量为true的满足赋值 —— 如果该赋值存在。证明吝啬SAT是NP完全问题。
1.证明吝啬SAT是NP问题。
2.证明吝啬SAT是NP完全问题。



解:

1.若存在一组对应于吝啬SAT问题子句变量的值,将这组值代入该问题中,可以在多项式时间内验证问题的解是否为真。因此吝啬SAT问题是NP问题。

2.将所有变量的总个数设为k,可以将SAT问题归约为吝啬SAT问题,此归约过程需要多项式时间,又因为SAT问题为NP完全问题,则吝啬SAT问题为NP完全问题。




8.8 在精准的4SAT(EXACT 4SAT)问题中,输入为一组子句,每个子句都是恰为4个文字的析取,且每个变量最多在每个子句中出现一次。目标是求它的满足赋值——如果赋值存在的话。证明EXACT 4SAT问题为NP完全问题。



解:

先证明EXACT 4SAT问题为NP问题:

若存在一组对应于EXACT  4SAT问题子句变量的值,将这组值代入该问题中,可以在多项式时间内验证问题的解是否为真。则EXACT  4SAT问题是NP问题。

再EXACT 4SAT问题为NP完全问题:

将3SAT问题归约到EXACT 4SAT问题上。对于任何一个3SAT问题,我们可以对每一个子句进行一系列操作,首先就是将子句中重复的文字进行删减,因为都是析取,所以删除重复的文字是不会影响结果的。接下来,如果一个文字出现了其否定和肯定在同一子句中,则将这个文字删除即可。最后一步就是,添加一些无关紧要的哑变量,将每个子句得文字数目扩充到4。 

此归约过程需要多项式时间。又因为3SAT问题是NP完全问题,则EXACT  4SAT问题为NP完全问题。


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