算法导论第三版第四章思考题

4-1

a.

$T(n)=\Theta(n^4)$
先用代入法证明$T(n)\le cn^4$:

$$\begin{align} T(n)&\le 2\cdot c(\frac{n}{2})^4+n^4\\ &=(\frac{c}{8}+1)n^4 \end{align}$$
故 $T(n)=O(n^4)$
再用代入法来证明 $T(n)\ge cn^4$：
$$\begin{align} T(n)&\ge 2\cdot c(\frac{n}{2})^4+n^4\\ &=(\frac{c}{8}+1)n^4 \end{align}$$
故 $T(n)=\Omega(n^4)$

b.

$T(n)=\Theta(n)$
先用代入法证明$T(n)\le cn$:

$$\begin{align} T(n)&\le \frac{7}{10}cn+n\\ &=(\frac{7}{10}c+1)n \end{align}$$
故 $T(n)=O(n)$
再用代入法证明 $T(n)\ge \Omega(n)$:
$$\begin{align} T(n)\ge(\frac{7}{10}c+1)n \end{align}$$
故 $T(n)=\Omega(n)$

c.

$T(n)=\Theta(n^2lgn)$
证明略

d.

$T(n)=\Theta(n^2)$
证明略

e.

$T(n)=\Theta(n^{log_2 7})$
证明略

f.

$T(n)=\Theta(\sqrt n lgn)$
证明略

g.

$T(n)=\Theta(n^2)$
先证明$T(n)\le cn^2$：

T(n)≤c(n−2)2+n2=(c+1)n2−4c(n−1)≤(