Prisoner’s Dilemma

囚徒困境博弈论解析

什么是囚徒困境？

囚徒困境（Prisoner’s Dilemma）是博弈论中的一个经典模型，用来分析两名玩家在非合作环境下的决策行为。
其核心在于玩家既可以选择合作也可以选择背叛，而最终的结果取决于双方的决策。

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囚徒困境的情景描述

假设两名嫌疑人（囚徒 A 和囚徒 B）因涉嫌犯罪被逮捕。警方没有足够证据定罪，于是分别对他们进行审问，并提出如下条件：

• 如果一方背叛（供出对方），而对方保持沉默，背叛者将被释放，沉默者判 10 年。
• 如果双方互相背叛，则各判 5 年。
• 如果双方保持沉默，因证据不足，各判 1 年。

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模型设定

1. 参与者

• 囚徒 A。
• 囚徒 B。

2. 策略集

每名玩家有两种选择：

• 合作（C）：保持沉默，不供出对方。
• 背叛（D）：供出对方。

3. 收益定义

以判刑年数的负值作为收益，收益值越大表示越有利：

• 合作 - 合作 (C, C)：两人各判 1 年，收益为 ( -1 )。
• 合作 - 背叛 (C, D)：合作者判 10 年，收益为 ( -10 )；背叛者被释放，收益为 ( 0 )。
• 背叛 - 背叛 (D, D)：两人各判 5 年，收益为 ( -5 )。

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收益矩阵

以下是囚徒困境的收益矩阵，矩阵中的每个格子表示 (囚徒 A 的收益, 囚徒 B 的收益)：

囚徒 A \ 囚徒 B	合作 ©	背叛 (D)
合作 ©	( (-1, -1) )	( (-10, 0) )
背叛 (D)	( (0, -10) )	( (-5, -5) )

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矩阵解释

1. 双方合作 (C, C)

   • ( (-1, -1) )：双方保持沉默，各被判 1 年。
   • 这是双方的最优社会选择，但由于互不信任，通常难以达成。

2. 一方合作，另一方背叛 (C, D) 或 (D, C)

   • ( (-10, 0) ) 或 ( (0, -10) )：背叛者被释放，而合作者被判 10 年。
   • 这是背叛者的最大化收益选择，但对合作者极为不利。

3. 双方背叛 (D, D)

   • ( (-5, -5) )：双方互相背叛，各被判 5 年。
   • 这是最常见的结果，也是双方的纳什均衡。

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博弈分析

1. 纳什均衡

• 在囚徒困境中，双方的策略均衡点为 ( (D, D) )，即双方选择背叛。
• 这是因为对于任意一方来说，背叛都是一个占优策略：
  • 如果对方合作，背叛能获更高收益（从 -1 提升到 0）。
  • 如果对方背叛，背叛可以避免更大的损失（从 -10 降低到 -5）。

2. 帕累托最优

• ( (C, C) ) 是帕累托最优解，因为此时双方的总判刑年数最少（2 年）。
• 然而，缺乏信任机制使得双方难以实现这个结果。

3. 悖论体现

• 虽然 ( (C, C) ) 对双方都有利，但理性的自利行为驱使双方选择 ( (D, D) )，导致了“集体次优”。

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实际应用场景

1. 经济学

• 企业之间的价格战：如果两家企业合作（不降价），可共同获利；但如果一方降价（背叛），将获得短期市场份额，而另一方损失惨重。

2. 国际关系

• 军备竞赛：如果双方停止扩军（合作），将节省资源；但如果一方扩军（背叛），另一方会处于劣势，双方最终都选择扩军。

3. 日常生活

• 公共资源的使用：个人若合作（节约使用资源），可维护资源的可持续性；但若有人背叛（过度使用），会导致“公地悲剧”。

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解决囚徒困境的方法

1. 重复博弈

   • 如果囚徒困境被多次重复，玩家之间会倾向于合作以避免长期的背叛惩罚。
   • 经典策略：以牙还牙（Tit for Tat），即在下一次博弈中模仿对方的上一次选择。

2. 引入信任机制

   • 建立沟通渠道，让双方能够协商并信任对方的选择。

3. 改变收益结构

   • 增加合作的奖励或提高背叛的惩罚，使得合作变得更具吸引力。

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总结

囚徒困境是一种经典的非零和博弈模型，揭示了个体理性与集体最优之间的矛盾。
其研究价值广泛应用于经济学、社会学、政治学以及人工智能等领域，提供了分析冲突与合作的重要工具。

关键点：

• 理性的选择往往是 ( (D, D) )，导致次优结果。
• 解决这一困境需要信任、沟通或外部激励机制。