共轭函数

共轭函数在最近火的不行的Gan生成对抗神经网络进阶版本的数学推理中有着神奇的作用，因此在这边记录下。

共轭函数的定义为：
f∗(t)=max⁡x∈dom⁡(f){xt−f(x)} f ^ { * } ( t ) = \max _ { x \in \operatorname { dom } ( f ) } \{ x t - f ( x ) \} f∗(t)=x∈dom(f)max​{xt−f(x)}
当然如果去百度它不是这么写的，但这么写和一般的写法等价。

这个公式的$x\in \mathrm{dom}(f)$表示$x$要在$f$的定义域内取值，这个蛮好理解的，不在定义域内就算不了。

那它具体在干一件什么事情呢？

可以看到式子的自变量是$t$，而当$t$定住后，式子希望在定义域内找到一个$x$使得右边大括号内的式子取得最大值。

它的物理意义是什么呢？

可以看到当$t$定住的时候，式子其实变成了$y=xt-f(x)$，如果高兴也可以再把左右拆开，这样就会发现左边其实是以$t$为斜率的一根直线，而右边则是$x$的函数，那么$max$这货就是要找到原函数$f(x)$和以$t$为斜率的直线的最大距离点对应的$x^{\ast }$。

说实在的，上面的解释我一看就懂，但完全不知所谓，心中十万只草泥马。最核心的问题在于，这个物理意义一点都不直观，而且这个公式怎么来的也不大清楚，感觉就是数学家随便写出来，然后脑袋一拍发现这东西有奇效！后面百度发现错怪了数学家，是物理学家搞出来的。。。我相信肯定有原因让他们把式子列成这样，但没查到，如果有知道的老哥请告诉我，万分感谢！

那么来看看它有什么性质好了。有两个比较重要的：

1.无论$f(t)$是不是凸函数，$f^{\ast }(t)$是凸函数。

2.凸函数的共轭函数的共轭函数是它自己。

第一点其实蛮不明显的，尤其是看着$f^{\ast }(t)$的表达式一晚上我也没想到怎么证明，但看到百度百科直接写"很明显能看出它是凸函数”然后半句解释都没有，而有些博客文章直接把这句话就抄了。。。给跪了。

那为什么呢？

上面是李宏毅大神的视频给出的图，因为在式子中$t$是自变量，因此{xt−f(x)}\{ x t - f ( x ) \}{xt−f(x)}其实是一堆的直线。而我们取定一个$t$要使得式子最大，其实就是做$t$轴的垂线，看看和垂线相交的最上面的点是哪个那就是最大值。

这样当我们跑完整个$t$之后，就可以得到$f^{\ast }(t)$的表达式。

这个时候通过观察可以直接看出，$f^{\ast }(t)$的斜率一定是不断增大的！那么它就是凸函数。当然从图上看可能会觉得虽然斜率是一直在增大，但在有些地方是不变的，这里无法直接从图上看出它是严格的凸函数，因此在这里存疑。但凸函数这点是一定的。

再来看第二点。假设现在$t$固定，而我们要求$xt-f(x)$的最大值其实就是要求式子对$x$求导后为0的位置。很容易可以算出最大值在$f^{{}^{\prime }}(x)=t$时取得。而因为$f(x)$是凸函数，因此只有唯一的一个$x$使得$f^{{}^{\prime }}(x)=t$，也就是说从原函数到其共轭函数$x$和$t$是一对一一对应关系。又从性质一我们知道反过来也是成立的。结合两个函数都是凸函数且变量互相一一对应，可以得出凸函数的共轭函数的共轭函数一定是它自己，如下图：

假设$x_{?}̸=x_1$则虚线部分将存在无映射的情况，与已知相背。当然这解释有点抽象，但实在是水平有限，不知道怎么从公式本身来证明这件事情。