π 的奥秘：如何用有理数逼近无理数？

本文将围绕有理数、无理数、连续统以及它们之间的深刻联系展开讨论，并结合具体的数学理论如康托尔区间套定理、戴德金分割、柯西施瓦茨不等式等，进行简要探讨

由于本文并未深入探讨，可能存在部分不严谨的地方，也欢迎各位进行纠正改错

开篇先总结一下吧，实数系统的严谨构造体现了现代数学的深刻统一性，本文以下三个重点：

• 区间套定理 从拓扑角度确保完备性。
• 戴德金分割 从代数结构延伸出连续统。
• 集合论视角 揭示了连续统的基数特性。

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1. 从 $\pi$ 到有理数领域

我们知道，$\pi =\mathrm{3.1415926...}$ 是一个经典的无理数，但当我们用计算机计算 $\pi /2$ 时，实际上得到的是一个近似的有理数。例如，使用莱布尼茨公式：
$$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$$
$$\because \frac{\pi }{4}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$$
$$\therefore \frac{\pi }{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$$
但是在有限步计算后，我们只能得到一个有理数的近似值。这引发了对无理数本质的思考：如何用有理数来逼近无理数？这一问题正是康托尔提出的 区间套理论 的核心思想之一。

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2. 康托尔区间套定理

2.1 定理概述

设有一列闭区间 $\{[a_n,b_n]{\}}_{n=1}^{\infty }$ 满足以下条件：

1. 嵌套性：$[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n]$
   这意味着每个新的区间都完全包含在前一个区间之内。

2. 长度趋于零：${\lim }_{n\to \infty }(b_n-a_n)=0$
   随着 $n$ 趋向于无穷大，区间的长度逐渐缩小至零。

则存在唯一实数 $c\in \mathbb{R}$ 使得：
⋂ n = 1 ∞ [ a n , b n ] = { c } \bigcap_{n=1}^\infty [a_n, b_n] = \{c\} n=1⋂∞​[an​,bn​]={c}
上述表达式表示所有这些区间的交集仅包含一个点 $c$。

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2.1 证明概要（非构造性）

1. 由单调有界原理， sup ⁡ { a n } \sup\{a_n\} sup{an​} 和 inf ⁡ { b n } \inf\{b_n\} inf{bn​} 存在。单调有界原理指出如果一个序列是单调递增且有上界的，则该序列必然存在极限。
2. 记 c = sup ⁡ { a n } = inf ⁡ { b n } c = \sup\{a_n\} = \inf\{b_n\} c=sup{an​}=inf{bn​}。这里的 $\sup$ 表示上确界，即集合中所有元素都不超过的一个最小值；$\inf$ 表示下确界，即集合中所有元素都不低于的一个最大值。
3. 由区间长度趋于零得唯一性。因为区间的长度越来越小，最终会收敛到一个唯一的点。

示例：证明实数不可数

1. 假设存在枚举 R = { x 1 , x 2 , …   } \mathbb{R} = \{x_1, x_2, \dots\} R={x1​,x2​,…}。
2. 构造区间套使得每个 $x_n\notin [a_n,b_n]$。
3. 由定理得矛盾，从而证明实数不可数。

康托尔区间套定理不仅刻画了实数集的完备性，还为许多分析学问题提供了强有力的工具。

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3. 戴德金分割，实数的序完备化

3.1 基本定义

对于有理数集 $\mathbb{Q}$ 的一个 戴德金分割 $(A,B)$ 定义为：
$$A\cup B=\mathbb{Q}且A\cap B=\varnothing$$
所有的有理数被分成两个互不相交的子集 $A$ 和 $B$。

• $\forall a\in A,\forall b\in B$ 有 $a<b$，即子集 $A$ 中的所有元素都小于子集 $B$ 中的所有元素。
• $A$ 无最大元（若存在最大有理数则归入 $B$）

每个戴德金分割对应唯一一个实数：

• 当 $B$ 有最小元时，对应有理数
• 当 $B$ 无最小元时，对应无理数

$\sqrt{2}$ 对应的分割
A = { x ∈ Q ∣ x < 0  或  x 2 < 2 } A = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < 0 \text{ 或 } x^2 < 2\} A={x∈Q∣x<0 或 x2<2}
B = { x ∈ Q ∣ x > 0  且  x 2 ≥ 2 } B = \{x \in \mathbb{Q} \mid x > 0 \text{ 且 } x^2 \geq 2\} B={x∈Q∣x>0 且 x2≥2}

3.2 序关系的建立

对于两个分割 $(A_1,B_1)$ 和 $(A_2,B_2)$，定义：
$$(A_1,B_1)<(A_2,B_2)⟺A_1⊊A_2$$
如果一个分割的 $A$ 集合是另一个分割 $A$ 集合的真子集，则前者小于后者。通过戴德金分割，我们可以严格地定义实数，并确保实数集 $\mathbb{R}$ 具有序完备性。

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4. 连续统的集合论诠释

4.1 定义

连续统 在数学中有两个相关但不同的含义：

1. 拓扑连续统：紧致的连通度量空间。
2. 集合论连续统：实数集的基数 $\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$。

实数的连续统特性：实数集 $\mathbb{R}$ 满足以下性质：

1. 序完备性（戴德金分割性质）。
2. 不可数性（康托尔对角线法证明）。
3. 基数特性：$\mathfrak{c}>{\aleph }_0$（连续统假设独立于 ZFC 公理）。

连续统假设的定位
$$\text{ZFC公理体系下无法证明或证伪：}\mathfrak{c}={\aleph }_1$$

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5. 极限到微积分：柯西施瓦茨不等式的简写

在分析学中，极限是研究函数和序列的核心工具。通过康托尔区间套定理，我们可以严格定义极限的存在性和唯一性。例如，考虑序列 { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛于 $L$ 的定义：
$$\forall ϵ>0,\exists N\in \mathbb{N},\forall n\ge N,|x_n-L|<ϵ$$
这一定义本质上依赖于实数的完备性。

柯西施瓦茨不等式是内积空间中的一个重要结果，其标准形式为：
$$|⟨u,v⟩|\le \Vert u\Vert \cdot \Vert v\Vert$$
在欧几里得空间中，这一不等式可以写作：
$${\left(\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{u}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{v}_i^2\right)$$
利用向量范数的简写形式，我们可以将其进一步简化为：
$$\Vert u\cdot v\Vert \le \Vert u\Vert \cdot \Vert v\Vert$$
这一形式不仅更简单了，还体现了连续统理论在高维空间中的应用。

简单来说就是利用实数的完备性和无限细分特性，确保我们在处理多维数据（比如向量、函数等）时，能够精确地定义距离、角度和极限等概念，让复杂的数学运算变得更加可行。