最大流问题及Ford-Fulkerson方法

流网络

流网络是一个有向图，$G=(V,E)$,图中的每条边有一个非负的容量值$c(u,v)\geq 0$.如果$(u,v) \notin E$,则定义$c(u,v)=0$。且在流网络中含有两个特殊的点：源节点 $s$和汇结点 $t$。
流网络的形式化定义如下：
设$G=(V,E)$为一个流网络，其容量函数为 $c$。$G$中的流是一个实值函数$f:V \times V \to \bf R$,满足如下性质：

• 容量限制：对于所有结点$u,v \in V$,其中$0 \leq f(u,v) \geq c(u,v)$ .

• 对于所有结点$u \in V-{s,t}$，其中

  $$\sum_{v \in V}f(v,u)=\sum_{v \in V}f(u,v)$$

$f(u,v)$为从结点$u$到结点 $v$的流。

流

一个流的值 $|f|$定义为：

$$| f |=\sum_{v \in V}f(s,v)-\sum_{v \in V}f(v,s)$$
即，流$f$的值为从源结点流出的总流量减去流入源结点的总流量。

最大流问题就是在给定的流网络中找到最大的流。

Ford-Fulkerson

之所以称它为方法，是因为它本身包含了几种运行时间各不相同的具体实现。
在了解Ford-Fulkerson方法之前，我们先来看以下几个概念。

残存网络

在给定的流网络$G$和流$f$,* 残存网络 $G_f$ *由那些仍有空间对流量进行调整的边构成。其残存流量定义为

$$c_f(u,v)=c(u,v)-f(u,v)$$
只有当$c_f(u,v)>0$,才将边加入到残次网络中。
更一般的，残存容量可以定义为：
假定有一个流网络$G=(V,E)$,其源结点为$s$,汇结点为$t$。设$f$为图$G$中的一个流，考虑结点对$u ,v \in V$的残存容量$c_f(u,v)$：
$$c_f(u,v)=\begin{cases} c(u,v)-f(u,v), & \text {若$(u,v) \in E$} \\ f(u,v) & \text {若$(u,v) \in E$} \\ 0 & \text {其他} \end{cases}$$

而残存网络的每条边，即残存边必须允许大于0的流量通过。