67、具有亚对数局部更新的动态平面点定位

具有亚对数局部更新的动态平面点定位

1. 引言

平面点定位是许多几何问题的核心，在过去40年里一直是计算几何领域的重要研究课题。静态平面点定位问题旨在存储平面的一个细分，以便能快速找到包含查询点的细分单元；动态平面点定位问题则允许对数据集进行更改，如添加或删除细分中的线段。

目前已知的动态数据结构在查询和更新时间复杂度上存在一定局限。例如，Cheng和Janardan的结构实现了$O(log^2 n)$的查询时间和$O(log n)$的更新时间；Arge等人的结构实现了$O(log n)$的查询时间、$O(log^{1 + ε} n)$的插入时间和$O(log^{2 + ε} n)$的删除时间。该领域的一个核心开放问题是是否存在一种线性大小的数据结构，能同时支持对数时间的查询和更新。

实际应用中，更新数据结构应该是快速的。本文研究了平面上不相交胖区域集合中的点定位数据结构，支持局部更新，即把一个区域替换为与原区域“相似”的另一个区域。我们证明在这种情况下可以打破更新的下界，同时仍允许$O(log n)$的查询时间和$O(n)$的存储空间。

2. 问题描述

• 定义 ：在一般维度$d$中定义问题，但本文主要关注$d \in {1, 2}$的情况。用$|R|$表示区域$R \subset R^d$的直径，即$|R| = \max_{p,q \in R} |pq|$。若两个胖区域$R_1, R_2 \subset R^d$满足$|R_1 \cup R_2| \leq \rho \min{|R_1|, |R_2|}$，则称它们是$\rho$-相似的。
• 问题