57、树之间的邻域保持映射

树之间的邻域保持映射

1. 引言

图同构问题旨在寻找两个图的顶点之间满足特定约束的一一映射，其应用广泛，涵盖生物信息学、模式识别和计算机视觉等领域。在树结构上，也有一类图同构问题被提出和研究，树与一般图之间映射的质量通常可以用编辑操作（如顶点或边的删除和插入）的最小成本来表示。

受蛋白质 - 蛋白质相互作用网络（PPINs）的启发，我们引入了一种新的同构问题，即邻域保持映射（Neighborhood - Preserving Mapping，NPM）。给定两个图 $G_1 = (V_1, E_1)$ 和 $G_2 = (V_2, E_2)$ 以及三个整数 $l$、$d$ 和 $k$，NPM 问题是寻找一个集合 $D \subseteq V_1$ 和一个一一映射 $f: V_1 \to V_2$，使得 $|D| \leq k$，并且对于每个顶点 $v \in V_1 \setminus D$ 和每个顶点 $u \in N^l_{G_1}(v) \setminus D$，都有 $f(u) \in N^d_{G_2}(f(v))$。这里，$N^i_G(v)$ 表示图 $G$ 中与顶点 $v$ 的距离至多为 $i$ 的顶点集合，集合 $D$ 被称为隔离集。

构建邻域保持映射与经典的子同构问题不同，它通过对所求映射设置接近性约束，提供了更多的自由度。这种自由度有助于处理数据不完整（缺失边或节点）以及噪声（错误的边或节点）问题，同时尊重拓扑距离。具有更多重要映射节点的映射被认为在生物学上更有意义。

本文主要关注树结构上 NPM 问题的经典复杂性，首先介绍主要定义，然后研究 $k = 0$ 时树结构上 NPM 问题的 NP 难和多项式时间可解情况，接着探讨 $k >