51、联合缓存分区与作业分配及最小权重 k 路径问题解析

联合缓存分区与作业分配及最小权重 k 路径问题解析

在计算机科学领域，联合缓存分区与作业分配以及最小权重 k 路径问题是重要的研究方向。本文将详细介绍这些问题的相关算法和解决方案。

联合缓存分区与作业分配

算法 A 及相关证明

首先定义了缓存分区 $\hat{p}$，它基于 $p_3$ 构建。设 $u_j = \lfloor\log_2(\sigma_{l_j}(p_3))\rfloor$，分区 $\hat{p}$ 在缓存级别 $l_1$ 有 $2^{u_1}$ 个核心，在 $1 < j \leq b$ 的缓存级别 $l_j$ 有 $2^{u_j} - 2^{u_{j - 1}}$ 个核心，且 $\hat{p}$ 和 $p_3$ 的重要缓存级别相同。

引理 5 表明，缓存分区 $\hat{p}$ 在每个缓存级别 $l_j$ 至少拥有 $p_3$ 在该级别核心数的三分之一。因此，存在一个作业分配 $\hat{S}$，它将 $S_3$ 分配给缓存级别 $l_j$ 至多 3 个核心的作业分配给 $\hat{p}$ 该级别每个核心。由于只在同一缓存级别内移动作业，负载不变，且 $M(\hat{p}, \hat{S}) \leq 3M(p_3, S_3) \leq 9M(p, S)$。

引理 6 指出，缓存分区 $\hat{p}$ 属于集合 $P(K, c, \epsilon)$。这完成了定理 3 的证明，确立了算法 A 是该问题的 18 - 近似算法，使用 $(1 + \frac{5}{2}\epsilon)K$ 缓存。

算法 B

算法 B 是算法 A 的变体，它使用至多 $K$ 缓存，找到最优