36、最优时间凸包在 Lp 度量下的研究与算法实现

最优时间凸包在 Lp 度量下的研究与算法实现

在几何计算领域，时间凸包的计算是一个重要的问题，特别是在考虑不同度量空间和交通环境的情况下。本文将深入探讨在 Lp 度量下的时间凸包问题，包括相关概念的定义、性质的推导以及高效算法的设计。

基本概念

• Lp 距离度量 ：对于任意实数 $p \geq 1$ 和任意两点 $q_i, q_j \in R^n$，其坐标分别为 $(i_1, i_2, \ldots, i_n)$ 和 $(j_1, j_2, \ldots, j_n)$，在 Lp 度量下的距离定义为 $d_p(q_i, q_j) = (\sum_{k=1}^{n} |i_k - j_k|^p)^{\frac{1}{p}}$。当 $p$ 趋于无穷大时，$d_p(q_i, q_j)$ 收敛于 $\max_{1\leq k\leq n} |i_k - j_k|$，这就是 L∞ 度量下的距离函数 $d_{\infty}(q_i, q_j)$。
• 时间距离 ：在 $R^n$ 空间中，存在一个运输高速公路 $H$，它是一个超平面，在 $H$ 中的移动速度为 $v_H$（$1 < v_H \leq \infty$），而在 $H$ 外的移动速度假设为单位速度。对于任意两点 $q_i, q_j \in R^n$，连接它们的连续曲线 $C$ 若其所需的旅行时间在所有连接 $q_i$ 和 $q_j$ 的可能曲线中最小，则称 $C$ 为最短时间路径，该旅行时间称为 $q_i$ 和 $q_j$ 之间的时间距离，记为 $\hat{d}(q_i, q_j)$。
• 行走区域 </