31、基于顶点覆盖数的树宽和路径宽计算

基于顶点覆盖数的树宽和路径宽计算

1. 基本概念与引理

• 三分区与树分解的关系 ：一个三分区 $(LC, XC, RC)$ 是某个树分解（或路径分解）的轨迹，当且仅当在图 $G[C]$ 中，$XC$ 能将 $LC$ 与 $RC$ 分离。
• 三分区的偏序关系 ：定义了三分区之间的偏序关系，即如果两个不同的三分区 $(LC_j, XC_j, RC_j)$ 和 $(LC_i, XC_i, RC_i)$ 分别是同一棵良好树分解中节点 $j$ 和 $i$ 的轨迹，且 $i$ 是 $j$ 的父节点，则称 $(LC_j, XC_j, RC_j)$ 先于 $(LC_i, XC_i, RC_i)$。
• 引入通用顶点 ：为了方便计算，在图 $G$ 中添加一个通用顶点 $univ$ 得到新图 $G’$。$C \cup {univ}$ 是 $G’$ 的顶点覆盖，且 $G’$ 的树宽（或路径宽）等于 $G$ 的树宽（或路径宽）加 1。

2. 有效五元组的引入

• 有效五元组的定义 ：对于有效分区 $(LC, XC, RC)$（$LC \neq \emptyset$），以及操作类型为引入、遗忘或合并的 $\tau^-$ 和 $\tau^+$，若存在一个良好树分解 $(T, X)$ 尊重该三分区，且 $\tau^- = \tau_{i_{min}}$，$\tau^+ = \tau_{i_{max}+1}$，则称 $(\tau^-, LC, XC, RC, \tau^+)$ 为有