38、改进的具有恒定拉伸率的源点往返生成器

改进的具有恒定拉伸率的源点往返生成器

在图论领域，图的生成器是一种重要的结构，用于近似表示图中顶点之间的距离。本文将介绍两种源点往返生成器的构造算法，分别是 3 - 源点往返生成器和 (5 + ϵ) - 源点往返生成器。

1. 定义和符号说明

• 有向图 ：一个有向图 $G(V, E, W)$ 由顶点集 $V$、边集 $E$ 和权重函数 $W$ 组成。权重函数 $W$ 为每条边 $e \in E$ 分配权重，若上下文明确，可省略 $W$。所有边中的最大权重记为 $M$。
• 单向最短路径 ：从顶点 $u$ 到顶点 $v$ 的单向最短路径是图 $G$ 中所有从 $u$ 到 $v$ 的路径中距离最短的路径，可简记为 $u \to v$，其距离记为 $d_G(u, v)$ 或 $d_G(u \to v)$，当上下文明确时可省略下标 $G$。
• 往返最短路径 ：顶点 $u$ 和 $v$ 之间的往返最短路径是从 $u$ 到 $v$ 的最短路径和从 $v$ 到 $u$ 的最短路径的拼接，其距离记为 $d(u \leftrightarrow v)$。
• 最短路径树 ：从顶点 $v$ 到任意顶点集 $U$ 的（出）最短路径树是图 $G$ 的一个子图，它是一棵树 $T$，使得对于每个 $u \in U$，$T$ 中 $d(v \to u)$ 等于 $G$ 中 $d(v \to u)$，该树以 $u$ 为中心。入最短路径树的定义类似。

2. 3 - 源点往返生成