21、动态流网格网络中的汇点定位与二分图列表着色问题解析

动态流网格网络中的汇点定位与二分图列表着色问题解析

动态流网格网络中的汇点定位问题

在动态流网格网络里，汇点定位问题是一类重要的疏散问题，其目标是确定汇点的位置，从而使每个疏散人员到达某个疏散设施的时间最短。

关键函数与定理

对于任意源集 (X \subseteq S^+)，(\Theta(X, y)) 是关于 (y)（(0 < y < \tau)）的分段线性函数，最多由三条线段组成，其表达式为：
(\Theta(X, y) = \min\left{y + \frac{w(X)}{c} + d(X, p), -y + \tau + \frac{w(X)}{c} + d(X, q), \frac{w(X)}{2c} + \frac{d(X, p) + d(X, q) + \tau}{2}\right})

证明过程如下：
设构成 (\Theta(X, y)) 的线性函数分别为：
(g_1(\theta) = c (\theta - d(X, p) - y))
(g_2(\theta) = c (\theta - d(X, q) - \tau + y))
(g_3(\theta) = c (2\theta - d(X, p) - d(X, q) - \tau))

根据相关等式，(\Theta(X, y)) 是使 (g_1(\theta))、(g_2(\theta)) 和 (g_3(\theta)) 分别等于 (w(X)) 时 (\theta) 的最小值。
求解 (g_1(\theta) = w(X)) 可得 (\theta = y + \frac{w(X)}{c} + d